Определение: Антье от (целая часть ) есть наибольшее целое число, не превосходящее .
Так, , , , , , .
Из определения сразу вытекают основные свойства функции «антье»:
1. область определения ;
2. множество значений ;
3. Функция является «кусочно-постоянной»: на каждом промежутке , функция принимает одно значение . Поэтому функция неубывающая, то есть для любых имеет место равенство . Поэтому же при функция отрицательна, , при .
Отметим некоторые специальные свойства изучаемой функции:
4. , если , а ;
5. если , ;
6. при любых действительных значениях выполняется система неравенств .
Указанные свойства используются при построении графика функции (рис. 24).
Отметим особенности построения и расположения графика : на каждом из промежутков , , график изображается отрезком, открытым справа (точка с координатами графику функции не принадлежит). Иными словами, в каждой точке с целочисленными абсциссами функция терпит разрыв.
График функции состоит из отрезков прямых, параллельных оси абсцисс, образующих «лесенку», длина и высота каждой «ступеньки» которой равна 1 [10].
3) Функция .
Дробную часть числа можно определить через его целую часть: . Поскольку целая часть не превосходит , то дробная часть числа всегда неотрицательна. Дробная часть целого числа равна 0.
Примеры: {}=-3; {-7}=0; {5}=0; {3}=; {-27,52}=-27,52-(-28)=0,48.
Исходя из определения, устанавливаются свойства функции :
3. функция ограничена ;
4. для любого действительного числа и любого натурального выполняется равенство . Таким образом, исследуемая функция является периодической, ее период - любое натуральное число, наименьший период 1;
5. на каждом промежутке функция возрастает, хотя на всей области определения возрастающей не является, она немонотонная.
Вследствие периодичности функции ее график достаточно построить на промежутке , на остальных промежутках области определения график строится, используя периодичность функции (рис. 25).
График функции изобразится изолированными отрезками прямых на каждом промежутке , , области определения. Эти отрезки геометрически представляют диагонали квадрата со стороной, длина которой равна 1 (длина каждого из отрезков ). Левая крайняя точка диагонали имеет координаты , правая крайняя точка с координатами графику функции не принадлежит. На каждом из указанных промежутков области определения графиком является отрезок прямой, параллельной прямой . Следовательно, функция , имеет «разрыв» в каждой точке с целочисленными абсциссами [10].
Закрепление полученных знаний
Пример 1. Построить график функции: .
Чтобы понять, как будет выглядеть график функции , надо взять несколько значений из каждого промежутка и посмотреть, что будет происходить с функцией.
x
0
0,3
0,8
0,15
x - 1
-1
-0,7
-0,2
-0,85
y = [ x - 1]
Возьмем значения из промежутка .
Значение функции для из промежутка равно -1, т. е. график на этом промежутке будет представлять собой отрезок прямой .
Далее, рассуждая аналогично, получим график(рис. 26).
Учащиеся в парах решают задания, записанные на доске. После выполнения задания разбираются на доске.
Построить графики функций. 1) ; 2) ; 3) .
Приложения кусочно-линейных функций достаточно разнообразны. Некоторые классы текстовых задач решаются с помощью функций и .
Задачу с помощью учителя решает на доске ученик.
Пример 2. Длина полных метров в куске кабеля в 5 раз больше длины неполного метра. Какова максимально возможная длина кабеля? [10].
Решение. Обозначим длину кабеля (м). Тогда составим уравнение или . Так как , то , поэтому . Тогда . Искомая длина кабеля 4,8 (м).
Ответ:4,8 м.
Подведение итогов занятия
- Какую тему мы изучили сегодня на занятии?
- Что нового вы узнали на занятии?
Методические рекомендации. Изучение функций «сигнум », «антье от », «дробная часть » программой общеобразовательной школы не предусмотрено, эти функции изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Все они являются «кусочно-линейными», то есть заданными линейно (в виде различных линейных зависимостей) на различных промежутках области определения. Изучение кусочно-линейных функций должно следовать за функцией «модуль числа». Для изучения данных функций подходит аналитико-графический путь: от определения и свойств к их графическим иллюстрациям.
Тема 4. Построение графиков функций
Занятие № 12. График сложной функции
Цель: научить учащихся применять полученные знания для построения графиков сложной функции.
Ход занятия:
Актуализация изученного ранее материала
На данном этапе занятия учащиеся вспоминают материал по теме преобразование графиков, для этого подбирается соответствующая система заданий. Актуализация знаний проводится в коллективной форме.
Систематизация изученного материала
Пусть требуется построить график функции . При этом предполагается, что построение графика функции легко выполнимо или же ее график в данной системе координат построен. Искомый график получается с помощь геометрических преобразований из графика исходной функции . Каждой паре функций, в зависимости от значений параметров соответствует определенное геометрическое преобразование [16]. Представим это соответствие в таблице.
Изучение данной темы обеспечивается знанием предыдущих тем. При заполнении таблицы проводится фронтальный опрос учащихся.
Пара функций
Название преобразования
a>0
0<a<1
Растяжение от оси ординат в раз
a>1
Сжатие к оси ординат в a раз
a<0
-1<a<0
(0<<1)
Симметричное отражение от оси ординат и
a<-1 (>1)
Сжатие к оси ординат в раз
b>0
Перенос вдоль оси абсцисс
На b единицы вправо
b<0
На единицы влево
c>0
0<c<1
Сжатие к оси абсцисс в раз
c>1
растяжение от оси абсцисс в с раз
c<0
-1<c<0
Симметричное отражение от оси абсцисс и
c<-1
()
Растяжение от оси абсцисс в раз
d>0
Перенос вдоль оси ординат
На d единиц вверх
d<0
На единиц вниз
Применяется групповая форма работы. Класс делится на 3 группы и каждая получает задание, после выполнения представитель от группы проводит подробный разбор задания на доске с построением графика функции.
Построить графики функций.
1) ; 2) ; 3) [25].
Постановка домашнего задания
Методические рекомендации: необходимо научить передавать графически качественные особенности функций, согласовать зрительный образ графика, его геометрические свойства и формулу.
Занятие №13. Итоговая контрольная работа
Цель: оценить уровень знаний учащихся, полученных в процессе изучения данного элективного курса.
Выполнение контрольной работы
Учитель раздает учащимся листы с заданиями контрольной работы. Учащиеся выполняют контрольную индивидуально в течение всего занятия.
Итоговая контрольная работа.
1. Найдите область определения функции.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5);6) [17].
2. По данному графику функции постройте графики функций.
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
3. Используя кривые , путем графического сложения, вычитания и деления получите кривые:.
4.Пусть , . Получите формулы для функций.
1) ;2) ;3) .
Постройте график «сложной» функции [25].
Методические рекомендации. В контрольную работу включаются задания на применение всех теоретических знаний, полученных в ходе изучения курса.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
