Функция является нечетной (она представляет собой произведение четной и нечетной функций), поэтому ее график будет симметричным относительно начала координат и его достаточно построить лишь для .
Строим графики функций и и перемножаем значения ординат этих графиков. Заметим, что в точках , в которых , функция равна нулю. В точках , где , произведение равно , т. е. эти точки лежат на прямой , а в точках , где , произведение равно , т. е. эти точки лежат на прямой (рис. 17).
Решение практических задач учащимися на занятии проводится в форме игры «Математическая рыбалка».
Для проведения игры учитель делит класс на 4команды.
Оборудование: «удочки» и «рыбки» - карточки с заданиями (на них написаны функции из второго задания).
1 задание. Сравните значения функций и , где , .
Данное задание общее для всех команд. После его выполнения листы с решениями собираются и затем проверяются учителем.
2 задание. Построить графики функций.1) ; 2) ; 3);4) ;5) [22].
Представители команд по очереди «вылавливают» с помощью удочки карточку, и команды приступают к выполнению полученного задания. После выполнения задания участники команд строят графики функций на доске.
В зависимости от правильности выполнения заданий командами каждому учащемуся выставляется оценка за работу на занятии.
Подведение итогов занятия
- Какую тему мы изучили сегодня на занятии?
- Что называется произведением двух функций?
Постановка домашнего задания
1. Построить графики функций.1) ; 2) .
2. Составить две функции, являющиеся произведением других функций, построить их графики.
Занятие №9. Частное двух функций
Цель: изучить арифметическое действие деление, производимое с функциями, научить учащихся строить графики функций, являющиеся частным двух других функций.
Ход занятия:
Разбор домашнего задания
Учащиеся сдают тетради с домашним заданием на проверку учителю, за его выполнение выставляется оценка.
Изучение нового материала
Частным двух функций и называется функция , у которой область определения получается следующим образом: из общей части областей определения и нужно удалить все значения, при которых , при этом значения функции .
График функции можно получить следующим образом: представим функцию в виде , построим графики и , а затем построим график произведения . Для того чтобы построить график функции , надо построить график функции , разделить единицу на ординаты графика (с учетом знака) и получить ординаты графика . Заметим, что в тех точках, где функция имеет нули, функция не определена и, как правило, имеет вертикальные асимптоты [20].
Закрепление полученных знаний
Учитель рассматривает на конкретном примере, как производится деление функций, и строит график данной функции.
Пример. Построить график функции .
Строим график функции , а затем делим единицу на соответствующие ординаты этой функции. При этом получаем, что при приближении к точкам график функции «уходит» в в зависимости от знака , т. е. прямые являются вертикальными асимптотами (рис. 18).
Решение практических задач учащимися на занятии проводится в группах.
1. Сравните значения функций и , где , .
2. Построить график функции: .
- Что называется частным двух функций?
1. Построить график функции: [20].
2. Составить две функции, являющиеся частным других функций, и построить их графики.
Методические рекомендации к 7, 8, 9 занятиям. Необходимо научить передавать графически качественные особенности функций. Введение арифметических операций с функциями производится неявно, так как они в большинстве случаев связаны с одноименными арифметическими числовыми операциями, поэтому важно сделать осознанным перенос действий из одной области в другую, рассматривая задания в которых требуется сравнить значения функций и , и , и . Все результаты деятельности учащихся фиксировать в индивидуальной карточке.
Занятие №10. Функции, содержащие операцию «взятие модуля»
Цель: познакомить учащихся с основными приемами построения графиков функций, содержащих модуль, закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений. Привлечь внимание к эстетической стороне данного вида деятельности. Предусмотреть возможность творчества учащихся.
Теоретический материал учитель рассказывает с примерами, подробно разбирая их на доске.
Иногда в формулу, задающую некоторую функцию, входит знак модуля. Приведем ряд приемов, позволяющих облегчить построение графиков функций в этом случае.
1) Построение графика функции .
=
Следовательно, график функции состоит из двух графиков: - в правой полуплоскости, - в левой полуплоскости.
Исходя из этого, можно сформулировать правило.
График функции получается из графика функции следующим образом: при график сохраняется, а при график отображается симметрично относительно оси OY [23].
Учитель разбирает примеры на доске.
Пример 1. Построить график функции .
Построение.
1) Строим график функции для ;
2) достраиваем часть графика для , симметрично построенной относительно оси OY (рис. 19).
Пример 2. Построить график функции .
Построение. Заметим, что .
1) Для строим график функции . Известно, что это парабола, обращенная ветвями вверх. Ось ординат она пересекает в точке . Ось абсцисс пересекает в точках и . Вершина параболы находится в точке ;
2) достраиваем для часть графика, симметричную построенной относительно оси ординат(рис. 20).
2) Построение графика функции .
Отсюда вытекает алгоритм построения графика функции.
1) Строим график функции f(x);
2) часть графика , лежащая над осью OX, сохраняется, часть его, лежащая под осью OX, отображается симметрично относительно оси OX [23].
Пример 3.Построить график функции .
1) Строим график функции ;
2) график нижней полуплоскости отображаем вверх симметрично относительно оси OX (рис. 21).
Пример 4. Построить график функции .
1) Строим график функции . Графиком этой функции будет парабола, пересекающая оси координат в точках , , и , имеющая вершину в точке () и обращенная ветвями вверх. На участке, где y<0, чертим график пунктиром;
2) симметричной пунктирной кривой относительно оси абсцисс достраиваем линию графика данной функции [21].
3) Построение графика функции .
Чтобы построить график функции, надо сначала построить график функции при , затем при построить изображение, симметричное ему относительно оси OY, а затем на интервалах, где , построить изображение, симметричное графику относительно оси OX [23].
Учитель разбирает пример на доске.
Пример 5. Построить график функции .
2) график функции , получаем из графика функции отображением симметрично (при ) относительно оси OY;
3) график функции получаем из графика функции отображением симметрично оси OX нижней части графика(рис. 22).
Решение практических задач на занятии учащимися проводится в парах с последующей проверкой на доске.
Построить графики функций.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) [23].
Письменная работа
В письменную работу включаются задания по теме «Действия над функциями».
Построить графики функций. 1) ;2) ;3) .
- С какими приемами построения графиков функций, содержащих модуль, Вы познакомились?
Построить графики функций. 1); 2) ; 3); 4) ; 5) [23].
Методические рекомендации. Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, учащимся необходимо владеть приемами построения графиков элементарных функций, а также знать и понимать определение модуля числа. Необходимо научить учащихся передавать графически качественные особенности функций. Результаты письменной работы фиксировать в индивидуальной карточке.
Занятие №11. «Кусочно-линейные» функции: , ,
Цель: изучить функции («сигнум »), («антье»), («дробная часть»), научить учащихся строить графики данных функций.
Новый материал учитель излагает в форме лекции. Учащиеся делают записи в тетрадях.
1) Функция y = sgn x.
Название функции «сигнум» происходит от латинского signum и переводится «знак». Функцию сигнум ввел Л. Кронекер в 1878 г.
Определение:
График функции строится по определению(рис. 23).
Из определения следуют некоторые свойства функции:
область определения - множество ;
множество значений состоит из трех чисел ;
функция постоянна при и при .
Функция нечетная: [10].
2) Функция ( «антье »).
Термин «антье» происходит от французского entier - целый, обозначение ввел К. Гаусс в 1808 г.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
