§2.1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где х - независимая переменная, k и b - некоторые числа. Такое определение дает Ю.Н. Макарычев и др. в своем учебнике по алгебре в 7 классе, в параграфе 13.

И только после этого в следующем параграфе дается определение прямой пропорциональности. Перед тем как ввести определение предлагается задача об объеме железного бруска. Зависимость массы железного бруска от его объема является примером функции, которая задается формулой вида у=kх. И только затем дается определение. Обращается внимание на то, что прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, так как формула у=kх получается из формулы y=kx+b при b=0 и для того, чтобы построить график прямой пропорциональности достаточно отметить какую-либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

Целый параграф в данном учебнике отводится на изучение взаимного расположения графиков линейных функций. Графики двух линейных функций, заданных формулами вида y=kx+b, пересекаются, если коэффициенты при х различны, и параллельны, если коэффициенты при х одинаковы.

В отличие от учебника Ю.Н. Макарычева и др, в учебнике Ш. А. Алимова и др. понятие прямой пропорциональности вводится раньше линейной функции. Школьникам предлагается найти площадь треугольника, основание которого равно 3, а высота х. пусть искомая площадь будет у. Тогда ответ можно записать у=3х. если же основание треугольника равно k, тогда зависимость между высотой х и площадью у выражается формулой у=kх. Все первоначальные сведения о линейной функции вводятся на примере его частного случая у=kх. В отличии от Ю.Н. Макарычева и др, школьников уже в 7 классе знакомят с понятием обратной пропорциональности. Как пример приводится зависимость скорости от времени. Говорится о том, что плотность вещества при постоянной массе обратно пропорциональна его объему.

И только в следующем параграфе дается определение линейной функции в общем виде. Школьникам объясняется, что график функции y=kx+b получается сдвигом графика функции y=kx на b единиц вдоль оси ординат. Графики данных функций параллельны.

В учебнике А.Г. Мордковича понятие «Линейная функция» вводится совсем иначе. Поскольку определение функции будет дано только в 9 классе, изменяется традиционная методика изложения темы «Линейная функция» - первой темы, связанной с понятием функции. Первой (в §28) изучается тема «Линейные уравнения с двумя переменными». Рассматриваются задания следующего типа:

- найти какое либо решение уравнения 2х+3у=5;

- найти решение уравнения 2х+3у=5, зная, что х=2, зная что у=0, и т.п.;

- построить график уравнения х+у=3 и с помощью графика узнать несколько решений этого уравнения.

Далее внимание учащихся обращается на то, что график линейного уравнения с двумя переменными с двумя переменными проще строить, если уравнение преобразовано к виду y=kx+b, для которого употребляется термин «линейная функция». Позднее им сообщается, что существуют и другие функции, например у=х2 (ее изучению посвящена глава 7).

В учебнике вводятся теоремы без доказательства, например:

Теорема 2. Графиком линейной функции y=kx+b является прямая.

Теорема 4. Прямая, служащая графиком линейной функции y=kx+b, параллельна прямой, служащей графиком прямой пропорциональности y=kx.

§2.2. Квадратичная функция.

С квадратичной функцией учащиеся в учебниках Ш.А. Алимова впервые сталкиваются в 8 классе.

В §35 учащиеся знакомятся с определением квадратичной функции. Даются примеры из жизни, где имеет место быть квадратичная функция. Например, зависимость площади квадрата от его стороны является примером функции y=x2.

В §36 предлагается рассмотреть функцию y=x2, т.е. квадратичную функцию y=ax2+bx+c при, а=1, b=0, с=0.

Для построения функции составляется таблица, а затем точки отмечаются на координатной плоскости и соединяются. График функции y=x2 называется параболой.

После чего выясняются некоторые свойства функции y=x2.

В §37 учащимся предлагается построить график функции y=ax2. Сравнивается графики функций y=ax2 и y=x2. Говорят, что график функции y=аx2 получается растяжением графика функции y=x2 от оси Ох вдоль оси Оу в а раз.

Рассматриваются свойства функции y=ax2, где а0

1) если а0, то функция y=ax2 принимает положительные значения при х0;

если а0, то функция y=ax2 принимает отрицательные значения при х0;

2) Парабола y=ax2 симметрична относительно оси ординат;

3) Если а0, то функция y=ax2 возрастает при х0 убывает и при х0;

Если а0, то функция y=ax2 убывает при х0 и возрастает при х0.

В §38 автор предлагает построить график квадратичной функции. Для этого предлагается использовать метод выделения полного квадрата (получили у=(х+т)2+п), а затем сравнить полученный график с графиком функции у=х2. Делается вывод что мы получаем параболу сдвинутую на т единиц по оси Ох и на п единиц по оси Оу.

В §39 приводится алгоритм построения графика любой квадратичной функции y=ax2+bx+c:

1. Построить вершину параболы (х0, у0), вычислив х0, у0 по формулам .

2. Провести через вершину параболы прямую параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы.

3. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы.

4. Построить две какие-то точки параболы, симметричные относительно ее оси. Для этого надо взять две точки на оси, симметричные относительно точки х0 (х0 0), и вычислить соответствующие значения функции (эти значения одинаковы). Например, можно построить точки параболы с абсциссами х=0 и х=2х0 (ординаты этих точек равны с)

5. Провести через построенные точки параболу.

При изучении темы формируются умения определять по графику промежутки возрастания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции и решение задач с их применением не входит в число обязательных.

В заключении, учащимся предоставляется возможность еще раз повторить решение систем двух уравнений, одно из которых первой, а другое второй степени.

В учебниках Ю.Н. Макарычева и др. с функцией y=x2 учащиеся впервые сталкиваются в 7 классе. Все сведения рассматриваются в этом параграфе аналогично учебнику Ш.А. Алимова за 8 класс.

Дальнейшее же знакомство с квадратичной функцией происходит только в 9 классе.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax2+bx+c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем, а0 - так начинается §3 в данном учебнике.

Изучение квадратичной функции начинают с частного случая - функции y=ax2.

При а=1 формула y=ax2 принимает вид y=x2. С этой формулой учащиеся уже встречались в 7 классе. В отличии от учебника Ш. А. Алимова формулируется 5 свойств. Добавляется свойство, что график функции проходит через начало координат, и свойство о наибольшем и наименьшем значении.

В следующем пункте рассматриваются графики функции у=ах2+п и у=а(х-т)2. Учащимся предлагается выяснить, что представляют собой графики данных функций.

И наконец в последнем пункте данной темы рассматривется построение графика квадратичной функции. Здесь предлагается алгоритм построения квадратичной функции, состоящий из трех пунктов:

Найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

Построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

Соединить отмеченные точки плавной линией.

В учебнике Мордковича функция y=x2 вводится в седьмом классе:

во-первых, для того чтобы школьник, целый год изучавший курс алгебры, не закончил год с убеждением, что в природе существуют только линейные функции; надо приоткрыть двери в дальнейшие разделы математики;

во-вторых, эта функция помогает более глубокому изучению линейной функции.

В результате в 7 классе учащиеся знакомятся с графиком и свойствами функции y=x2, учатся графически решать уравнения.

Дальнейшее знакомство с данной функцией происходит в 8 классе. Так, в §12 приведены два алгоритма построения графика функции у=f(x+l)+m, если известен график функции y=f(x).

В §13, где идет речь о построении графика квадратичной функции, делается акцент не на отыскании координат вершины параболы, служащей графиком функции y=ax2+bx+c, а на отыскании уравнения оси симметрии параболы . Во - первых, построение оси параболы само по себе значимо с геометрической точки зрения: наличие оси параболы дает учащимся возможность найти одну- две пары симметричных относительно оси точек параболы, которые используются как контрольные точки для более точного эскиза графика. Во - вторых, зная уравнение оси х=х0, ученик сможет найти ординату вершины параболы по формуле у0=f(х0), более важной, не мой взгляд, для понимания сути дела, чем требующая специального запоминания формула .

§2.3. Обратная пропорциональность.

В учебниках Алимова функция у= вводится только в 9 классе. § 15 начинается с задачи: построить график функции у=. Построение осуществляется с помощью свойств функции. После данной задачи, говорится что у= - гипербола.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11