Если имеется добавок только к функции или только к аргументу, то при построении исходного графика можно также обе оси координат нанести штриховыми линиями; затем одну из них сдвинуть, а другую обвести сплошной линией.

Рис. 21. Рис. 22.

§ 3.2. Растяжение и сжатие графика.

п.3.2.1. По оси х-ов.

Этот прием чаще применяется при построении графиков тригонометрических функций. Поэтому разберем его на двух примерах графиков тригонометрических функций.

1-й пример (на растяжение).

y=sinх

Общий метод построения графика:

область существования - вся числовая ось;

область изменения функции: -1у1;

функция нечетная, периодическая; период функции найдем из равенства

sin=sin(+2)=sin(); =4.

Следовательно, достаточно построить часть графика для половины периода 0х2;

4) характерные точки:

а) при у=0 sinх=0, откуда х=, или х=, т.е. кривая пересекает ось х-ов в точках (0; 0) и (2; 0);

б) максимум функции равен 1 при х=, т.е. при х=.

По этим данным на рисунке 23 построен график заданной функции; сначала график строился для положительного полупериода (утолщенная часть графика), затем на отрезке, соответствующем отрицательному полупериоду, построена косо симметричная кривая (тонкая линия) и, наконец, на остальном протяжении кривая изображена штриховой линией.

График функции y=sinx можно построить проще, приняв за исходный известный нам график функции y=sinx, нанесенный штриховой

линией на рисунке 24. Замечаем, что период исходной функции y=sinx 0=2, а период заданной функции y=sinx =4,

Рис. 23

т. е. вдвое больше периода исходной функции. Таким образом, график, который требуется построить, получится из исходного графика (штрихового, на рисунке 24) путем растяжения его по оси х-ов вдвое.

Рис. 24

2-й пример (на сжатие).

y=sin3x.

Общий метод построения графика тот же, что и в примере первом:

1-й и 2-й пункты исследования те же;

3) период функции находится из равенства

sin3x=sin(3x+2)=sin3(x+),

откуда период =, полупериод ;

4) характерные точки:

а) при у=0 sin3x=0, откуда 3х=, х=, т. е. кривая пересекает ось
х-ов в точках (0; 0) и (; 0);

б) максимум функции равен 1 при 3х=, т.е. при х=.

По этим данным график построен на рисунке 25 в той же последовательности, как и предыдущий график.

Рис. 25.

График функции у=sin3x проще построить методом сжатия по ocи x-ов исходного графика y=sinx в 3 раза (рис. 26), так как период ; заданной функции в 3 раза меньше периода 2 исходной функции.

Рис. 26.

Таким образом, график функции y=f(nx), если известен график функции y=f(x), с строится посредством сжатия по оси х-ов этого исходного графика пропорционально коэффициенту п при аргументе, а именно:

если п>1, то сжатие в п раз;

если 0<п<1, то растяжение в раз.

п.3.2.2 По оси у-ов

1-й пример (на растяжение).

у=2sinx.

Строить этот график методом полного исследования функции нецелесообразно. Отчетливо видно, что ординаты графика в 2 раза больше ординат исходного трафика y=sinx. Поэтому график заданной функции строится путем удвоения всех ординат исходного графика, т.е. путем растяжения исходного графика по оси у-ов 2 раза (рис. 27).

2-й пример (на сжатие).

у=sinх.

По тем же соображениям этот график строится способом уменьшения всех ординат исходного графика в 3 раза, т. е. сжатием исходного графика по оси у-ов в 3 раза, что сделано на том же рисунке 27.

Рис. 86.

Таким образом, график функции y=mf(x), если известен график y=f(x), строится посредством растяжения по оси у-ов исходного графика пропорционально коэффициенту т при функции, а именно:

если т>1, то растяжение в т раз;

если 0<т<1, то сжатие в раз.

Примечание 1. Если требуется построить график функции y=mf(nx), то сначала строится штриховой линией график исходной функции у=f(х), а затем этот исходный график сжимается по оси х-ов в п раз и растягивается по оси у-ов в т раз.

Примечание 2. На графиках, разобранных в этой главе, все исходные штриховые линии (первоначальные оси координат, сдвинутые в дальнейшем, и исходные графики) можно стереть или перечеркнуть по окончании всех построений.

§3.3. Отражение.

График функции y=-f(x) получается зеркальным отражением графика функции y=f(x) относительно оси х (рис. 28)

График функции y=f(-x) получается зеркальным отражением графика функции y=f(x) относительно оси у (рис. 29)

Рис. 28. Рис. 29.

1. Построить график функции если дан график функции y=f(x).(рис. 30, а)

Рис. 30

Последовательно строим сначала графики функций у=2f(x),
у=-2f(x), у=-2f(-x) (рис 30, а), а затем графики функции и (рис. 30, б)

Рис. 30

§3.4. График суммы и разности двух функций.

Наиболее общий метод построения графиков суммы или разности двух функций заключается в том, что предварительно строятся (штриховыми линиями) два графика для обеих функций, входящих в сумму или разность, затем складываются или вычитаются ординаты этих кривых в характерных точках (пересечение кривых с осями координат, максимумы и минимумы, точки перегиба кривых и т.д.). По полученным точкам строится искомый график и производится проверка несколькими контрольными точками.

Если график суммарной функции имеет экстремум (максимум или минимум), то нахождение точки экстремума средствами элементарной математики возможно только при наличии каких-либо специальных средств заданной функции.

Упрощающие приемы построения графиков суммы и разности функций:

а) Если дана сумма функций, то строится график одной из них, более простой (например, линейной функции); затем к ней пристраивается график второй функции, ординаты которых откладываются от соответствующих точек первого графика.

б) Если задана разность функций, то строится (штриховой линией) график уменьшаемой функции и от нее откладываются ординаты вычитаемой функции, взятые с обратным знаком. Иногда удобно вычертить (штриховой линией) график вычитаемой функции с обратным знаком и ординаты обеих кривых (уменьшаемой функции и вычитаемой с обратным знаком) сложить.

в) Сумма или разность двух функций преобразовывается в одну функцию, если это возможно и если вычерчивание графика такой функции проще.

г) Построение графика алгебраической суммы функций упрощается, если использовать свойства четности, нечетности, периодичности и т.д.

Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие как общий прием, так и упомянутые упрощающие приемы построения графиков суммы и разности двух функций.

1. у=х-sinx (рис. 31).

Рис. 31.

Имеем две функции: y1=x и у2=-sinx.

Строим график первой функции, затем от него (а не от оси х-ов) откладываем ординаты второй функции. Для облегчения построения параллельно прямой у1=х проведены две вспомогательные прямые: у=х+1 и у=x-1 На этих прямых находятся вершины синусоиды.

2. y=x+tgx (рис. 32).

Построение аналогично построению предыдущего графика.

3. y=x+lgx (рис. 33).

Строится прямая y1=x.

Характерные точки графика:

при х=1 y1=l; y=l+lgl=l; точка А(1;1);

при х=10 y1=10; y=10+lgl0=ll; точка В(10;11).

Из чертежа можно видеть, что область существования заданной функции (0; ), т. е. та же, что и для второго слагаемого у2=lgx.

4. у=х-arcsinx (рис. 34).

Заданная функция нечетная, так как

(-х)-arcsin(-х)=-х+arcsin х=-(x- arcsin x).

Поэтому построение можно выполнить только для правой части графика (при х 0).

Строим два вспомогательных графика:

y1=x и у2=arcsinx.

Ординаты искомого графика представляют собой разность: у1-у2. Характерные точки:

1) х=0, у1=0; у2=0; у=0; точка (0; 0);

рис. 33

2) х=1 (граничная точка), у1=1, y2=arcsin1=, у=-1-0,57; точка (1;-0,57);

3) х=0,5, у1=0,5, у2=arcsin0,5=0,52;
у=-0,02; точка (0,5;-0,02).

Левая часть графика построена косо симметрично правой.

Из рисунка видно, что область существования заданной функции та же, что для

Рис. 34 второго слагаемого, т. е. для функции y2=arcsinх - сегмент [-1; 1].

5. y=arcctgx-x (рис. 35).

Строим вспомогательные графики:

у1=arcctgх и у2=-х.

Ординаты обоих графиков складываются. Замечаем, что прямая у2=-х является асимптотой заданной кривой. Вторая асимптота

Рис. 35

имеет уравнение: у3=-х. Характерная точка: при х=0 y=arcctg0=; точка (0; ). Далее, =+?=?.

6. y=sin(arcsinx)-х (рис. 36).

Рис. 36. Рис. 37.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11