Большая Энциклопедия Рефератов - Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики

Рефераты. Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики

a. f '(x)>0 при x<x0 и f '(x)<0 при x> x0, то x0 - точка максимума;

b. f '(x)<0 при x<x0 и f '(x)>0 при x> x0, то x0 - точка минимума.

Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x0 f '(x)>0 для x< x0, f '(x)<0 для x> x0. Применим теорему Лагранжа к разности f(x)-f(x0) = f '(c)(x-x0), где c лежит между x и x0.

1. Пусть x <x0. Тогда c<x0 и f '(c)>0. Поэтому f '(c)(x-x0)<0 и, следовательно,

f(x) - f(x0)<0,т.е. f(x)< f(x0).

2. Пусть x > x0. Тогда c> x0 и f '(c)<0. Значит f '(c)(x- x0)<0. Поэтому f(x) - f(x0)<0, т.е. f(x) < f(x0).

Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x0 f(x)<f(x0). А это значит, что в точке x0 функция имеет максимум.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть
f '(x1)=0 и для любых x, достаточно близких к x1, выполняются неравенства

f '(x)<0 при x< x1, f '(x)>0 при x> x1.

Тогда слева от точки x1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x=x1 функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

Аналогично можно рассматривать точки x2 и x3.

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

1. Найти область определения функции f(x).

2. Найти первую производную функции f '(x).

3. Определить критические точки, для этого:

a. найти действительные корни уравнения f '(x)=0;

b. найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.

4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим - самое маленькое из всех ее значений.

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:

1. Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.

2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x=a, x=b.

3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

п.1.4.5. непрерывность

Приступая к изучению функциональных зависимостей, мы должны, конечно, прежде всего с помощью целесообразной классификации внести хотя бы некоторый порядок в предстоящий нам многообразный мир. Первым таким классифицирующим и организующим принципом служит обычно (и с полным основанием) разделение всех функций на непрерывные и разрывные, причём математический анализ фактически имеет дело почти исключительно с непрерывными функциями, лишь в сравнительно редких случаях привлекая к рассмотрению и простейшие из разрывных. Непрерывные функции обладают целым рядом особых свойств, которых лишены, вообще говоря, функции разрывные; благодаря этим свойствам исследование и применение непрерывных функций весьма значительно облегчаются, так что изучение этих свойств становится для анализа чрезвычайно важным делом.

Мы говорим, что функция у=f(х) непрерывна при х=а (или, короче, в точке а), если f(х)=f(а), или, что в силу определения понятия предела равносильно тому же, если для любой окрестности V числа f(а) найдётся такая окрестность U числа а, что для любого хU мы имеем f(х)V. Таким образом, для непрерывности функции в точке а требуется, во-первых, существование предела f(х) и, во-вторых, совпадение этого предела с тем значением, которое функция принимает при х=а. Само собой разумеется, что второе из первого ещё не вытекает, как показывает пример функции

(3)

По поводу этого определения надо прежде всего заметить, что так понимаемая непрерывность есть локальное (местное) свойство функции, т. е. такое свойство, которым функция может обладать в одной точке и не обладать в другой; так, функция (3) разрывна (т. е. не непрерывна) при х=0 и непрерывна при любом другом значении х; это - очень важное обстоятельство, которое никогда не надо упускать из вида.

Далее, мы называем, функцию непрерывной в данном отрезке [а,b], если она в вышеприведённом смысле непрерывна в каждой точке этого отрезка; при этом в точке а требуется лишь непрерывность справа, т, е. соотношение f(х)=f(а), а в точке b - непрерывность слева, определяемая аналогичным соотношением, которое Вы напишете сами (если имеется в виду открытый отрезок (а, b), то, разумеется, в точках а и b от функции ничего не требуется). Заметим кстати, что математики давно уже пользуются очень удобным обозначением

f(a)=f(a+0), ,

с помощью которого определение непрерывности функции f(x) в точке а можно записать посредством весьма простого соотношения

f(a+0)=f(a-0)=f(a);

это обозначение не может привести ни к каким смешениям, если только помнить, что f(а+0) и f(а-0) представляют собой не значения функции f(х) в каких-либо точках, а пределы таких значений при некоторых определённых изменениях величины х.

п.1.4.6. периодичность

Функция у=f(х) называется периодической, если существует такое число Т>0, что для, каждого значения х из области определения этой функции значения х+Т и х-Т также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x+Т)=f(x). При этом число Т называется периодом функции y=f(x). Из этого определения следует, что

f(х+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x),

f(х+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x),

f(x)=f[(x-T)+T]=f(x-T)

и т. д. Отсюда, используя метод математической индукции,

Рис. 12

получаем, что для любого п = 0, 1, 2, …, выполняется равенство f(х+пТ)=f(х), Таким образом, каждое из чисел nТ (п=1,2,3,…) также является периодом функции f(х).

Мы предполагаем, что читатель хорошо знаком с периодическими функциями sinx, соsx и tgх.

Пример 16. Доказать, что функция является периодической с периодом 2.

Решение. Область определения рассматриваемой Функции получается выбрасыванием из числовой оси тех точек, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. точек -+2k (k-целое). Отсюда видно, что если точка х принадлежит области определения рассматриваемой функции f(x), то точки x+2 и x-2 также принадлежат этой области определения. Остается проверить, что выполнено равенство f(x+2)=f(x). Мы имеем

f(x+2)=

Пример 17. Доказать, что функция f(х)=|sinх| является периодической с периодом .

Глава II. Изучение основных элементарных функций в школьном курсе математики.

В результате изучения курса математики учащиеся должны:

§ понимать, что функция - это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций (прямая и обратная пропорциональности, линейная, квадратичная функции) описывают большое разнообразие реальных зависимостей;

§ правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.), понимать ее в тексте, в речи учителя, в формулировке задач;

§ находить значения функции, заданных формулой, таблицей, графиком; решать обратную задачу;

§ находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения;

§ строить графики линейной функции, прямой и обратной пропорциональности, квадратичной функции;

§ интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

Школьный курс изучения функции строится по аналогии с развитием в истории понятия функции.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11