Класс разделён на четыре группы. Каждой группе учитель даёт задание - решить предложенное неравенство (1 группе - под буквой а; 2 группе под буквой b и так далее). Порядок выполнения действий описан ниже.

a) x•(x+1)+2•(x2+3x)+6 > x•(3•x+5)-x+9

b) 7•t• (2•t-3) -18 ? (14•t+3) • (t+2)

c) 3•x• (2•x-5)+4 ? x•(6•x-9)-2• (3•x+3)

d) (2•y+1)2+2 < 2•y• (2•y+5)-6•y+5

Первый шаг: упростите выражение в каждой части неравенства.

Второй шаг: перенесите члены неравенства содержащие переменную, в левую часть, а числа - в правую часть с изменением знака на противоположный (на основании какого свойства числовых неравенств мы это можем сделать?).

Третий шаг: приведите подобные члены.

Четвёртый шаг: разделите обе части неравенства на коэффициент при переменной (используются свойства равносильных неравенств), получите простейшие неравенства:

a) x>1;

b) t<-16,1;

c) нет решений;

d) у - любое решение;

Пятый шаг: отметьте решения на координатной прямой.

Анализ решения позволяет записать алгоритм решения линейного неравенства 1 степени с одной неизвестной.

1. Раскрыть скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).

2. Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащие в другую.

3. Привести подобные члены в каждой части.

4. Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной (с учётом свойств равносильности при а?0).

5. Записать ответ в виде простейшего неравенства.

6. Отметить соответствующие промежутки на координатной прямой.

7. Записать числовой промежуток.

Алгоритм решения неравенства вида ax>b, который является составной частью приведённого выше алгоритма, записывается в виде схемы (рис. 1).

Рассмотрим работу с алгоритмом решения линейных неравенств поэтапно. На первом этапе полезно актуализировать следующие знания: тождественные преобразования рациональных выражений, свойства числовых неравенств, изображение промежутков на координатной прямой, нахождение пересечения и объединения промежутков. После этого проводим описанную выше работу и формулируем сам алгоритм. На втором этапе отрабатываем отдельные операции, входящие в алгоритм (приведение подобных членов, решение неравенств при а > или ? 0) и их последовательность.

да нет

да

Третий этап может быть очень разнообразным. Всё зависит от уровня знаний и умений учащихся. Но в любом случае надо начать с элементарных задач, а уже после формирования навыка решения линейных неравенств первой степени с одной неизвестной у учащихся.

I. Этап (актуализация знаний)

а) Изобразите на координатной прямой промежутки, соответствующие неравенствам:

· х?3,

· x<-5,

· x?2

b)

· -1.5?x?4,

· 2<y<6.1,

· -3<z ? 9.2

c) Запишите неравенства, соответствующие ппромежуткам:

· [2;+ ?)

· (-3;+ ?)

· (-?;4)

· (-5;3]

· [-6;8]

· (-?;+?)

2) Найдите пересечение промежутков

· (1;8)?(5;10)

· [-4;4]? [-6;6)

· (-?;10) ? (-?;6]

3) Найдите объединение промежутков

· [7;10] и (-3;5]

· [3;+] и (8;+)

· (-;3] и (-5;16]

4) Запишите в виде неравенства утверждения

· сумма чисел х и 17 больше 18;

· разность чисел 13 и х меньше 2;

· произведение чисел 17 и х не меньше 3;

· удвоенная сумма чисел х и (-3) не больше 2;

· полусумма чисел х и 3 не больше их произведения;

· удвоенное произведение чисел х и (-4) не меньше их разности

5) Заполните пустые места таблицы

II этап

1. Избавьтесь от дробных чисел в неравенстве и где нужно раскройте скобки

·

·

·

·

·

2. Перенесите члены с неизвестными в одну часть, а известные в другую и приведите подобные члены

·

·

·

·

·

3. Приведите неравенство к виду x > p ( или х ? р )

·

·

·

4.Найдите соответствие

· 1) а)

· 2) b)

· 3) c)

· 4) d)

5. Найдите ошибку в решении неравенства.

a) 5·(3+2с)>4-2·c

15+2·c>4-2·c

2·c+2·c>4-15

4·c>-11

c>-11/4

b) 4·(4-x)?x+21

16-4·x?x+21

-4·x-x?21-16

-5·x?-5

x?-1

6. Решите неравенства.

·

·

·

·

·

III этап

1.Решите неравенства.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2. При каких значениях у выражение принимает отрицательное значение

a)

b)

c)

d)

3. При каких а значение дроби больше значение дроби

4. При каких х значение дроби больше значения разности

дробей

5. Найдите натуральные решения неравенства

a)

b)

6. Найдите положительные решения неравенства

a)

b)

7. Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше чем периметр квадрата со стороной 4см.

8. Найдите область определения выражения.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

9. Сколько железнодорожных платформ потребуется для перевозки 183 контейнеров, если на одной платформе можно разместить не более 5 контейнеров.

10. Одна сторона треугольника равна 8 см., другая - 13см.

1) каким наименьшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны?

2) каким наибольшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны?

11.При каких значениях х точки графика функции у=3х+1.5 лежат выше точек графика функции у=-2х+1.

§3 Формирование алгоритма « Решение неравенств второй степени с одним неизвестным»

Цель:

· выработать умение решать неравенства второй степени с одним неизвестным и системы квадратных неравенств.

Решение квадратных неравенств - это традиционно обособленная часть исследования свойств квадратичной функции. Например, задача о решении неравенства х2-5х+6<0 может быть переформулирована в задачу о нахождении промежутков, на которых функция у =х2-5х+6 принимает отрицательные значения, а это легко решается с помощью эскиза графика. Этот способ фактически является строгим обоснованием графического способа.

Метод интервалов является логическим продолжением решения квадратных неравенств. Он позволяет решать более сложные неравенства, у которых левая часть - многочлен любой степень, представляемый в виде простых множителей, или дробь, у которой числитель и знаменатель также многочлены, разлагаемые на множители.

В результате изучения темы учащиеся должны уметь:

· решать квадратные неравенства с одной неизвестной графически и методом интервалов

Специфические действия:

1. Привидение неравенства к квадратному виду.

2. Решение квадратных уравнений.

3. Построение графиков функций (схематично).

4. Выполнение тождественных преобразований.

5. Определение знака выражения на соответствующих промежутках.

6. Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной.

«Ядерным» материалом темы является:

1. Понятия «< » , « > » неравенство, решение неравенства решение системы неравенств, равносильных неравенств;

2. Свойства числовых неравенств, равносильных неравенств;

3. Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной и решения системы неравенств.

4. Свойства графика квадратичной функции.

Рассмотрим работу с алгоритмом решения неравенств второй степени (графически) поэтапно. На первом этапе полезно актуализировать знания: нахождение корней квадратного трёхчлена, дискриминанта, изображение графиков квадратичных функций (схематично). После этого формулируем сам алгоритм. На втором этапе отрабатываем отдельные операции, входящие в алгоритм: изображение графиков функций, нахождение при каких значениях х функция принимает положительные, а при каких отрицательные значения. На третьем этапе применяем алгоритм при решении более сложных задач.

I. Введение алгоритма.

Рассмотрим введение алгоритма “решение неравенств второй степени с одним неизвестным” (графическим методом) с использованием обучающих самостоятельных работ.

1.Актуализация знаний

Обучающую самостоятельную работу проводим по новому материалу,

но перед этим повторим ранее изученные понятия, которыми придётся воспользоваться.

1. у у у

а) Куда направлены ветви параболы?

b) Пересекает ли парабола ось ох, если да то сколько раз?

с) При каких х парабола принимает положительные значения?

d) При каких х парабола принимает отрицательные значения?

2. Изобразите схематично график функции.

· у=х2+5х-6

· у=-х2+4х-4

· у=3х2+4х+8

· у=0,1х2+3х-6

3. Изобразите схематично параболу, которая на

· промежутке (-?;-3] убывает, а на промежутке [-3;+ ?) возрастает;

· промежутке (-?;6] возрастает, а на промежутке [6;+ ?) убывает;

4. При каких значениях х , функция принимает положительные значения

· f(x)=-x2+4x-2;

· f(x)=3х2+2х-1;

5. При каких значениях х , функция принимает отрицательные значения

· f(x)=-х2+4х-1;

· f(x)=4x2+2x-1;

2. Открытие алгоритма учащимися под руководством учителя.

После этого начинается работа с объяснительным текстом. Каждый ученик самостоятельно изучает этот текст. Это предполагает активную работу мысли ученика. Текст составлен таким образом, чтобы учащиеся в меру возможностей самостоятельно выводили формулы, находили нужные приёмы решения задачи.

Если в левой части неравенства стоит квадратный трёхчлен, а в правой - нуль, то такое неравенство называют квадратным. Например, неравенства

2х2-3х+1?0, -3х2+4х+5<0 являются квадратными.

Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство - найти все его решения или установить, что их нет.

Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, на которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные и отрицательные значения.

Например, решим с помощью свойств графика квадратичной функции неравенство 2х2-х-1?0

График квадратичной функции у=2х2-х-1 - парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдём точки пересечения этой параболы с осью ох, для этого решим квадратное уравнение 2х2-х-1=0. Корни уравнения х1=1, х2=-0.5

Следовательно парабола пересекает ось ох в точках х1=1, х2=-0.5

Покажем схематично как расположена парабола в координатной плоскости.

х

Из рисунка видно, что неравенству 2х2-х-1?0 удовлетворяют те значения х, при которых значения функций равны нулю или отрицательны то есть те значения х при которых точки параболы лежат на оси ох или ниже этой оси. Из рисунка видно, что этими значениями являются все числа из отрезка

[-0.5;1].

Ответ: -0.5?х?1

График этой функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знакомом неравенства, из рисунка видно, что:

1) решениями неравенства 2х2-х-1 < 0 являются числа интервала -0.5<х<1

2) решениями неравенства 2х2-х-1 > 0 являются все числа промежутков

х<-0.5 и х>1.

3) решениями неравенства 2х2-х-1 ? 0 являются все числа промежутков

х ?-0.5 и х ? 1.

После работы с объяснительным текстом учащиеся получают «нулевые» задания. Они предназначены для самоконтроля и к ним предлагаются правильные ответы. Если ответы учеников не совпали с данными ответами, то придётся повторно прочитать объяснительный текст и снова выполнить «нулевые» задания, устранив ошибки.

10 Решите неравенства:

а) 4х2-5х+6х<0,2(10х2+15)

1. Приведите неравенство к квадратному виду .

2 Выясните имеет ли выражение, стоящее в левой части корни.

(Решите уравнение, приравняв выражение в левой части к нулю.)

Заполните таблицу

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5