4. На рис. 4.16 изображена пирамида КАBCD. Че-рез точку М, МАВК, провести прямую, парал-лельную BD.
Решение. Проведем через прямую BD и дан-ную точку М плоскость. Она пересечет грань АВК по прямой ВЕ (ЕКА), а грань ADK по прямой ED. В построенной плоскости BED проведем через точку М прямую параллельно BD.
5. Постройте точку пересечения прямой МН с плоскостью основания пирамиды SABCD (рис. 4.17).
6. В основании треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны, лежит прямоугольный тре-угольник (рис. 4.18). Постройте высоту пирамиды.
7. Через точку М на плоскости б (рис. 4.19) проведена прямая, которая пересекает грань АКС пирамиды КАВС в точке Н. Какую еще грань пересечет эта прямая?
8. Постройте многогранник, имеющий 11 ребер.
Указание. Четырехугольная пирамида имеет 8 ре-бер, если у нее «срезать» угол при основании, добавит-ся 3 ребра. Всего у многогранника будет 11 ребер. [25], [26], [8], [12], [13]
Заключение
Целью данной работы было рассмотрение особенностей методики изучения темы «Многогранники» в курсе стереометрии 10-11 классов. В связи с чем были выполнены следующие задачи: были рассмотрены различные подходы к определениям многогранника, выпуклого многогранника и правильного многогранника, а также были сделаны выводы о том, какие подходы целесообразнее использовать в школе. Кроме того, были рассмотрены особенности изучения темы в учебниках разной направленности: общеобразовательной, гуманитарной, с математическим уклоном. Были рассмотрены также различные средства наглядности, которые могут быть использованы при изучении данной темы. И, наконец, были подобраны опорные задачи, которые можно использовать на уроке при изучении данной темы.
Таким образом, в данной работе были рассмотрены основные, общие моменты изучения многогранников в школьном курсе стереометрии. В следствие чего дальнейшие исследования могут проходить в направлении более детального изучения отдельных разделов данной темы, а также пропедевтического введения многогранников в курсе математики 5-6 классов.
Литература
1. Автономова Т.В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя./ Т.В. Автономова, Б.И. Аргунов. - М.: Просвещение, 1988.
2. Александров А.Д. Что такое многогранник? / А.Д. Александров// Математика в школе. - 1981. - № 1-2.
3. Александров А.Д. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992. - 464 с.
4. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 1998. - 207 с.
5. Бескин Л.Н. Стереометрия. / Л.Н. Бескин. - М.: Просвещение, 1971.
6. Болтянский В.Г. Выпуклые многоугольники и многогранники. / В.Г. Болтянский, И.М. Яглом // Математика в школе. - 1966. - № 3.
7. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Кн. для учителя. / В.Г. Болтянский. - М.: Просвещение, 1985. - 320 с.
8. Веселовский С.Б. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса. / С.Б. Веселовский, В.Д. Рябчинская. - М.: Просвещение, 1998. - 96 с.
9. Глаголев Н.А. Геометрия: Стереометрия. / Н.А. Глаголев, А.А. Глаголев. - М.: Учпедгиз, 1958.
10. Джордж Пойа. Математическое открытие. / Джордж Пойа. - М.: Наука, 1976.
11. Земляков А.Н. Геометрия в 10 классе: Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В. Погорелова: Пособие для учителя. / А.Н. Земляков. - М.: Просвещение, 1986. - 208 с.
12. Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. - М.: Просвещение, 2000.
13. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы. / Б.Г. Зив. - С.-Петербург, 1998.
14. Каченовский М.И. Математический практикум по моделированию. / М.И. Каченовский. - М.: Просвещение, 1959.
15. Киселев А.П. Геометрия: Учебник для 9-10 классов средней школы. / А.П. Киселев. - М.: Учпедгиз, 1956.
16. Клопский В.М. Геометрия: Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. / В.М. Клопский, З.А. Скопец, М.И. Ягодовский / Под. ред. З.А. Скопеца. - М.: Просвещение, 1979.
17. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. / Л.А. Люстерник. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
18. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы. / Под. ред. А.И. Фетисова. - М.: Просвещение, 1967.
19. Методика преподавания математики: Общая методика. / Составители: Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985.
20. Паповский В.М. Углубленное изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии в 10-11 кл. по учеб. пособию А.Д. Александрова, А.Л. Вернера, В.И. Рыжика: Кн. для учителя. / В.М. Паповский. - М.: Просвещение, 1993. - 223 с.
21. Петрова Е.С. Теория и методика обучения математике: Учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец.: В 3 ч. Ч. 1. Общая методика. / Е.С. Петрова - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. - 84 с.
22. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 1990. - 384 с.
23. Преподавание геометрии в 9-10 классах. / (сб. статей) сост. З.А. Скопец, Р.А. Хабиб. - М.: Просвещение, 1980.
24. Саакян С.М. Изучение темы «Многогранники» в курсе 10 класса. / С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. // Математика в школе. - 2000. - № 2.
25. Сверчевская И.А. Устные задачи по теме «Призма». / И.А. Сверчевская. // Математика в школе. - 2003. - № 6.
26. Сверчевская И.А. Устные задачи по теме «Пирамида». / И.А. Сверчевская. // Математика в школе. - 2003. - № 7.
27. Смирнова И.М. В мире многогранников: Кн. для учащихся. / И.М. Смирнова. - М.: Просвещение, 1995. - 144 с.
28. Смирнова И.М. Геометрия: Учеб. пособие для 10-11 кл. гуманит. Профиля. / И.М. Смирнова. - М.: Просвещение, 1997. - 159 с.
29. Смирнова И.М. Об определении понятия правильного многогранника. / И.М. Смирнова. // Математика в школе. - 1995. - № 3.
30. Смирнова И.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах. Изучение многогранников. / И.М. Смирнова. // Математика в школе. - 1994. - № 4.
31. Ходеева Т. Свойства многогранников. / Т. Ходеева. // Математика. - 2002. - № 11.
Приложение 1.
Урок повторения по теме «Многогранники» (10 класс).
Урок был проведен в 10 классе после изучения основных многогранников перед изучением правильных многогранников и симметрии.
Цели:
1) повторить основные виды многогранников (призмы и пирамиды), их частные виды;
2) повторить основные формулы для нахождения площади поверхности многогранников и его частных видов;
3) решить задачи разного уровня сложности по данной теме с применением уже известных знаний по многогранникам.
Оборудование: справочная таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», которая содержит 4 столбца: вид многогранника, чертеж, площадь боковой и полной поверхности, объем; готовые чертежи на отвороте доски для решения задач.
Ход урока:
1) Организационный момент.
2) Актуализация знаний.
Проводится фронтальная работа по таблице. Листочками на таблице закрыты названия многогранников, основные формулы и чертежи. Постепенно открываются чертежи, учащиеся по чертежу называют вид многогранника и основные формулы нахождения его полной и боковой поверхности. Колонка таблицы с формулами объема в работе не участвует, так как объем изучается в 11 классе. Таким образом, учащиеся вспоминают все необходимые факты для решения задач.
3)Решение задач.
На уроке предлагается решить две задачи по готовым чертежам (устное решение), две задачи письменно с построением чертежа и дополнительную задачу более сильным ученикам.
Задача 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб. Найдите: tg б.(рис.1).
Задача 2.Дано: DABC - правильная треугольная пирамида, DO (ABC), AB = 3·DO. Найдите: б.(рис2).
Задачи 1 и 2 имеют своей целью повторение некоторых фактов планиметрии и ранее изученных тем по стереометрии (например, перпендикулярность прямой и плоскости) и использование их в решении задач. При решении задачи, как правило, затруднения не возникают, но можно решение задачи 2 записать в тетрадь (что и было сделано на уроке).
Задача 3. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, C = 90°, A = 30°, BC = 10. Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Высота пирамиды равна 5. Найдите ребра пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.
Вычисление длины ребер в задаче 3 происходит без затруднений, площадь вычисляется немного сложнее. Но главная особенность данной задачи в том, что необходимо понять, куда падает высота и чем является ее основание. (При проведении урока как раз этот момент и вызвал затруднение.)
Задача 4. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основанием служит ромб. Сторона ромба равна a, BAD = 60°. Диагональ параллелепипеда B1D составляет с плоскостью боковой грани угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
Задача 4 сложна тем, что, во-первых, в ней не все данные представлены числами, во-вторых, сложности возникают при определении угла между B1D и плоскостью боковой грани (задача была полностью разобрана на доске).
Задача 5. (дополнительная) В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a . Угол между смежными боковыми гранями равен 2б . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
4) Подведение итогов. По мере решения задачи проверяются, в конце урока даются указания для решения пятой задачи.[12],[13]
Вывод: урок поставленной цели достиг, учащиеся повторили основные виды многогранников, решили задачи разного уровня сложности, кроме того, повторили такие факты по планиметрии, как вычисление площадей многоугольников, и по стереометрии: угол между плоскостями, между прямой и плоскостью и другие. В целом уровень сложности задач соответствовал уровню подготовки учеников, и больших проблем при решении задач не возникло.
Приложение2.
Различные доказательства теоремы Эйлера.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
