Решение. Площадь большего диагонального сечения (рис. 4.5) Q=2aH, aH=. Площадь боковой поверхности равна 6•Q = 3Q.

14. Через две неравные диагонали основания пра-вильной 6-угольной призмы проведены диагональ-ные сечения. Найдите отношение их площадей.

Решение. Отношение площадей диагональных сечений (рис. 4.5-4.6) равно отношению неравных диагоналей правильного 6-угольника, сторона ко-торого а: S1,: S2 = 2а : а= 2 :.

15. По элементам, данным в табл. 4, найдите неизвестные элементы правильной шестиугольной призмы.

Таблица 4

16. В правильной n-угольной призме проведена плоскость под углом 60? к основанию так, что она пересекает все боковые грани призмы. Площадь основания равна 50 см2. Найдите площадь сечения.

Решение. Sосн = Sсеч • cos 60,

Sсе ч==100 (см 2).

17. Дана n-угольная призма. Найти сумму вели-чин ее плоских углов.

Решение. Найдем сумму плоских углов двух оснований и всех боковых граней: 180(n - 2) •2 + 360n = 360n - 720 + 360n = 720(n - 1).

2)Задачи на исследование.

1. Поставьте куб так, чтобы ни одна грань не была вертикальной. Будут ли тогда у него горизонталь-ные грани?

Ответ: нет.

2. Можно ли куб с ребром в 7 см оклеить лис-том бумаги в виде прямоугольника шириной14 см и длиной в 21 см?

Решение. Для оклейки нужны 6 квадратов со стороной 7 см. Данный прямоугольник разрезать на два со сторонами 7 см и 21 см, а потом каж-дый из них - на три квадрата со стороной 7 см. Получим 6 нужных квадратов, которыми можно оклеить куб. -

3. Сколько нужно взять прямоугольников и ка-ким свойством они должны обладать, чтобы из них можно было составить прямоугольный параллеле-пипед?

Решение. Два прямоугольника для оснований со сторонами а и b, четыре прямоугольника для боковой грани. Из них два со сторонами с и а и два со сторонами с и b.

4. Установите, прямой или наклонной является призма, у которой две смежные боковые грани пер-пендикулярны основанию.

Решение. Призма является прямой. Две смеж-ные боковые грани пересекаются по прямой, пер-пендикулярной плоскости основания. Остальные ребра параллельны данному ребру и, следователь-но, тоже перпендикулярны основанию.

5. Исследуйте, существует ли призма, имеющая 50 ребер? 54 ребра?

Решение. Число ребер n-угольной призмы 3n, поэтому призмы, имеющей 50 ребер, не существу-ет, а 54 ребра имеет 18-угольная призма.

6. Какой многоугольник лежит в основании призмы, если она имеет n граней?

Решение. Число сторон многоугольника, ле-жащего в основании, равно числу боковых граней призмы. Из условия следует, что это число равно n - 2, так как в призме две грани являются основа-ниями. Таким образом, в основании (n - 2)-уголь-ник.

3)Задачи на доказательство.

1. В параллелепипеде диагонали основания рав-ны, а боковое ребро перпендикулярно двум смеж-ным сторонам основания. Докажите, что паралле-лепипед прямоугольный.

Доказательство. В основании - параллелограмм с равными диагоналями, т.е. прямоугольник, а бо-ковое ребро перпендикулярно основанию по при-знаку перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Докажите, что число ребер призмы кратно 3.

Доказательство. В n-угольной призме боковых ребер n, а ребер нижнего и верхнего оснований 2n, всего 3n ребер.

3. Докажите, что сумма двугранных углов при всех боковых ребрах четырехугольной призмы рав-на 360".

Доказательство. Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы. В сечении - четырехугольник, сумма его углов S = 180°(4 - 2) = 360°.

4. Если призма имеет 18 граней, то в ее основа-нии лежит 16-угольник. Докажите.

Доказательство. У призмы две грани оснований и, значит, боковых граней 16. Следовательно, в основании 16-угольник.

5. В кубе из вершины N проведены диагонали граней NE, NF, NK Концы их соединены отрез-ками (рис. 4.7). Докажите, что многогранник NEFK- - правильный тетраэдр.

6. Если две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов их площадей равна квадрату площади третьей боко-вой грани (рис. 4.8). Докажите.

7. Докажите, что сечение параллелепипеда пло-скостью не может быть правильным пятиугольни-ком.

Доказательство. Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника ни-какие две стороны не параллельны.

4)Задачи на построение

Сечения можно рисовать на заранее подготов-ленном изображении призмы.

1. Постройте сечение куба в виде: а) треугольни-ка, б) четырехугольника, в) пятиугольника, г) ше-стиугольника.

2. Постройте плоскость, проходящую через сто-рону нижнего основания треугольной призмы. Ка-кие многоугольники получаются в сечении приз-мы при вращении этой плоскости вокруг стороны?

Ответ: сечение может иметь форму

треугольника, трапеции.

3. В правильной треугольной призме плоскость сечения ВСМ образует с плоскостью основания двугранный угол б (рис. 4.9). Постройте линейный угол этого двугранного угла. Дайте объяснения.

Построение. Проведем из вершины A правиль-ного треугольника АВС высоту АК. Точка K принадлежит ребру ВС. Соответственно отрезок МК перпендикулярен ребру ВС. Угол МКА- - искомый.

4. В основании прямой призмы (рис. 4.10) лежит равнобедренная трапеция. Сечение ABC1D1 обра-зует с плоскостью основания двугранный угол б. Постройте его линейный угол.

Построение. Это угол между высотами трапеций ABCD и ABC1D1 проведенными из их общей вер-шины тупого угла. (Используем теорему о трех пер-пендикулярах.)

5. Сечение BCD1A1 прямоугольного параллеле-пипеда (рис. 4.11) образует с плоскостью основания двугранный угол в. Как построить его линейный угол? Построение. Следует использовать теорему о трех перпендикулярах. Искомый угол - это угол между диагональю А1В (или D1C) .боковой грани и стороной основания АВ (или CD), лежащей в этой грани.

4.2 Задачи по теме «Пирамида».

1)Задачи на вычисление

1. В правильной четырехугольной пирамиде вы-сота составляет с боковой гранью угол, равный 37°. Найдите угол между апофемами противоположных боковых граней.

Ответ: 74°.

2. Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона боко-вого ребра к плоскости основания.

Ответ: 30°.

3. Периметр основания пирамиды равен 20 см, а площадь ее основания 16 см2. Найдите периметр и площадь сечения пирамиды, проведенного парал-лельно основанию через середину бокового ребра.

Ответ:10 см, 4 см2.

4. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в основа-нии, и равны 12 см. Вычислите высоту пирамиды.

Ответ: 6 см.

5. В правильной четырехугольной пирамиде бо-ковое ребро равно 20 см, оно составляет с основа-нием угол 45°. Определите расстояние от центра основания до бокового ребра.

Решение. Искомое расстояние d равно длине высоты, опущенной из вершины равнобедренного прямоугольного треугольника на гипотенузу, которой является боковое ребро, d = 10 см.

Ответ: 10 см.

6. Используя рис. 4.12, на котором изображена пра-вильная треугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл. 1 и табл. 2.

Таблица 1

Таблица 2

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10