При решении задачи планирования может быть извлечена дополнительная информация из сетевой модели самого плана. Это приводит нас к стадии анализа, в котором такие понятия, как критический путь и резерв времени работы, играют ключевую роль.

Критический путь. Первый шаг в анализе графа работ заключается в нахождении критического пути (или путей) сети. Для определения этого понятия мы рассмотрим простейшую сеть, изображенную на рис. 9.5.

Замечания. В наших примерах мы не будем обсуждать реального смысла работ, как это делалось в предыдущих примерах и упражнениях. Как правило, вся символика будет той же, что на рис. 9.5. Символом V (вершина) обозначаются события; пара (Vi, Vj) определяет работу aij; число, стоящее около каждой стрелки, означает время выполнения соответствующей работы.

В сети на рис. 9.5 V1 означает начало проекта, а V7 - его окончание. Заметим, что от вершины V1 к вершине V7 можно пройти по сети четырьмя различными путями; для каждого пути мы можем определить его временную продолжительность - длину пути, т.е. сумму продолжительностей последовательных работ, образующих путь. Пути и их продолжительности будут следующими.

Путь Продолжительность

V1 - V2 - V5 - V7 4 + 1 + 4 = 9

V1 - V2 - V6 - V7 4 + 1 + 3 = 8

V1 - V3 - V6 - V7 3 + 2 + 3 = 8

V1 - V4 - V6 - V7 2 + 5 + 3 = 10

Определения:

1. Максимальное значение в множестве продолжительностей всех путей (оно может достигаться на нескольких путях) называется полным временем осуществления проекта. Это значение определяет наикратчайшее время, за которое может быть выполнен весь проект.

2. Любой путь, длина которого равна полному времени осуществления проекта, называется критическим путем.

В приведенном примере максимальная продолжительность пути равна 10 единицам. Невозможно закончить все работы сети до истечения 10 единиц времени, если отчет начинается со времени совершения события V1. Отсюда следует, что полным временем осуществления проекта будет 10 единиц, а критическим путем V1-V4-V6-V7.

Чтобы уменьшить полное время осуществления проекта, необходимо сократить продолжительность работ, лежащих на критическом пути. Уменьшение продолжительности работы, не принадлежащей критическому пути, не отразится на изменении полного времени осуществления проекта.

9.2.2  Методы определения критического пути

Нахождение критического пути может быть выполнено с помощью методов, требующих информации, которая используется на последующих стадиях анализа. Эти методы легко применимы при счете вручную, и могут быть запрограммированы для компьютера. На практике для большой сетевой модели, тем более, если анализ должен повторяться через определенные интервалы времени, применение компьютерной программы значительно упрощает задачу.

Процедура отыскания критического пути состоит в следующем. Прежде всего, составляется список всех событий в той последовательности, в которой они должны выполняться, т.е. по сети слева направо. Затем для каждого события вычисляются так называемые ранний срок (E) и поздний срок (L) свершения события. Если отыскание критического пути выполняется вручную, то эти значения можно записать сразу на графике. Тогда любой путь, такой, что для всех событий, входящих в него, E = L, будет одним из возможных критических путей.

Для иллюстрации описанной процедуры рассмотрим следующую простейшую сетевую модель, представленную на рис. 9.6 (критический путь обозначен жирной линией). Все объяснения даны на графике и в таблице.

Значения, помеченные звездочкой, требуют специальных пояснений (см. далее п.п. 5 и 8).

Нахождение раннего срока свершения события E (V).

1. Предположим (произвольно), что событие V1 происходит в момент времени, равный нулю.

2. Для нахождения E(V2) прибавим к раннему сроку свершения события E(V1) продолжительность работы a12. Получим

E(V2)=E(V1) +(продолжительность a12)=0 +3 =3.

Это говорит нам о том, что событие V2 не может наступить раньше, чем пройдет три единицы времени с момента начала проекта.

3. Аналогично

E(V3)=E(V1) +(продолжительность a13) =0 + 4 = 4

и

E(V4)=E(V2) +(продолжительностьa24) =3 +2 =5.

4. Для каждого из рассмотренных событий характерно, что к нему ведет только одна стрелка (работа). В таком случае

E(Vj)=E(Vi) + (продолжительность aij), где aij-единственная работа, ведущая в Vj.

5. Если к событию Vj ведут более одной стрелки, то ранний срок свершения события E(Vj) вычисляет так, как показано далее. В модели нашего примера три стрелки-работы из V2, V3, V4 ведут в V5. Поэтому необходимо рассчитать три момента времени и выбрать из них наиболее поздний. Таким образом.

E(V2) + (продолжительность a25) = 3 +4 =7;

E(V3) + (продолжительность a35) = 4 +2 =6;

E(V4) + (продолжительность a45) = 5 +1 =6.

Первое значение наибольшее, оно и будет равно E(V5). Итак, E (V5) = 7; событие V5 не может наступить раньше, чем с начала проекта пройдет 7 единиц времени. Отсюда следует, что полным временем осуществления проекта будет 7 единиц. Если следовать сетевой модели, проект не может быть выполнен раньше чем через 7 единиц времени.

Нахождение позднего срока свершения события L (V).

6. Возможный наиболее поздний срок выполнения всего проекта по определению равен полному сроку выполнения проекта, т.е. L (Vоконч) = E (Vоконч).

7. Произведем теперь процедуру вычисления раннего срока свершения события в обратном порядке, для этого будем двигаться по сети справа налево. Таким образом, если из Vi выходит только одна стрелка, которая ведет к Vj, то время позднего срока свершения этого события будет равно

L(Vi) = L(Vj) - (продолжительность a45) = 7 - 1 = 6

Для сети нашего примера

L (V4) = L(V5) - (продолжительность a45) = 7-1 = 6,

L (V3) = L(V5) - (продолжительность a35) = 7-2 = 5.

Последнее значение говорит нам о том, что, если мы хотим закончить проект максимум за 7 единиц времени, событие V3 должно произойти не позже чем через 5 единиц времени с начала осуществления проекта.

8. Если из события ведут более одной стрелки, например, как для V2, то необходимо вычислить все множество значений “позднего” времени и выбрать из него наименьшее. Таким образом,

L (V4)-(продолжительность a24)=6-2=4,

L (V5)-(продолжительность a25)=7-4=3.*

Значение, помеченное звездочкой, будет наименьшим, т.е.

L (V2) = 3.

Нахождение критического пути (путей). Любой путь от исходного события до завершающего, такой, что:

1. E(V) = L(V), для всех входящих в него событий V, будет критическим путем, причем

2. время продолжительности каждой работы равно разности между временем конечного и начального события. (Оба критерия 1 и 2 должны быть проверены для каждого события и работы.)

9.2.3  Резерв времени работы

Если та или иная работа не принадлежит критическому пути, то мы имеем возможность увеличить время ее выполнения без увеличения полного времени осуществления проекта. Эту возможность иногда полезно использовать. В таком случае, например, можно было бы людские ресурсы переключить на выполнение других работ, увеличив таким способом общую эффективность. Однако увеличение продолжительности любой работы, не входящей в критический путь, имеет определенный максимум. Слишком большое увеличение приведет к возникновению нового критического пути и увеличению полного времени осуществления проекта.

Чтобы правильно спланировать использование ресурсов, т.е. распределить их по различным работам наиболее эффективным образом, необходимо найти некоторые величины, так называемые резервы времени. Имеется три вида резервов, соответствующие работам, и они называются соответственно общими, свободными и независимыми. Каждый из этих видов ресурса мы проиллюстрируем на фрагменте некоторой сетевой модели (рис. 9.7). Предположим, что единица времени равна одному дню.

1. Полные резервы. Для работы a46 имеем:

Это означает, что если событие V4 наступит как можно раньше и если событие V6 наступит как можно позже, то работа а46 может быть выполнена в любое время в промежутке 11 дней, т.е. имеется 6 резервных дней. Это хорошо иллюстрируется на графике с временной осью (рис.9.8).

Замечание. Отрезок AB может быть расположен в любом месте, лишь бы он лежал в заданном интервале длиной 11 дней.

Полный резерв работы может быть использован на стадии планирования или на стадии выполнения проекта. Использование резерва одной работы может изменить (уменьшить) резервы последующей или предыдущей работы. Для исследования этой возможности необходимо найти значения двух других видов резервов.

2.Свободные резервы. Для работы a46 имеем:

Это означает, что начало работы a46 можно отодвинуть от самого раннего срока не больше чем на 4 дня, не влияя на наступление раннего срока свершения события V6. Как видим, свободный резерв времени работы является той частью ее полного резерва, которая может быть использована без изменения резерва последующих работ. Использование свободного резерва времени на стадии планирования уменьшает резервы предшествующих работ.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31