Учебный курс начинается с изучения фундаментального обобщенного понятия, которое постепенно обогащается и конкретизируется отдельными фактами и знаниями, служит для учеников ориентиром и помогает осмыслить все частные случаи, которые вводятся в дальнейшем. В результате осуществляется постепенное движение от общего к частному, от абстрактного к конкретному.

Усвоение теоретических знаний осуществляется в процессе учебной деятельности. При этом возникают и развиваются такие новообразования, как содержательная рефлексия, анализ и планирование [5, 383]. Эти новообразования определяют важное перестроение осей познавательной и личностной сфер деятельности детей и являются основой психического развития младших школьников. Обеспечить качественное усвоение детьми достаточно сложной системы понятий с опорой на учебную активность репродуктивного типа заведомо невозможно. Поэтому организация полноценной учебной деятельности школьников является главным и существенным условием, которое обеспечивает их развитие в процессе обучения.

Учебная деятельность -- особая деятельность учеников, которая сознательно направлена на усвоение знаний [9,478]. Надо учитывать, что усвоение новых знаний может осуществляться без целенаправленной учебной деятельности школьников в процессе игры, трудовой деятельности, во время занятий спортом. При этом не ставится цель получить знания: ребенок играет ради игры, занимается спортом для развития своих физических качеств. Поэтому с психологической точки зрения, полученные знания являются побочным продуктом указанных видов деятельности. Только в учебной деятельности получение новых знаний рассматривается как главная цель.

С.Л. Рубинштейн в связи с этим говорил, что существуют “два вида деятельности, в результате которых человек овладевает новыми знаниями и умениями. Один из них специально направлен на овладение этими знаниями и умениями, как на свою непосредственную цель. Второй приводит к овладению этими знаниями и умениями, осуществляя иные цели. Учение в последнем случае -- не самостоятельная деятельность, а процесс, что осуществляется как компонент и результат деятельности, в которую он включен” [7,76].

Ключевое слово “деятельность” имеет целью творческое превращение школьниками учебного материала, это значит такое его изучение, при котором выясняются происхождение, становление и развитие предмета или явления. Поэтому учебной деятельностью нельзя считать усвоение детьми знаний, которые им представляются учителем в готовом виде.

Важным этапом процесса организации учебной деятельности является постановка учебной задачи, когда дети убеждаются, что способов действия, которыми они владеют, недостаточно для решения новой задачи. В этот момент учитель не дает ученикам никаких определенных образцов, готовых способов решения, которые можно восстановить, а организует поиск способов действия, которых не хватает.

Учебной называется такая задача, которая заставляет школьника искать общий способ решения всех задач данного типа. Учебная задача может ставиться только в отношении к какому-нибудь фундаментально значимому понятию, что открывает весь учебный предмет или крупный раздел учебного курса [6, 66].

Осуществляя учебную деятельность школьники выполняют определенные учебные действия. В.В. Давыдов представляет их в логике решения учебной задачи:

принятие от учителя учебной задачи или ее совместная постановка;

превращение условий задачи с целью выявления всеобщих отношений изучаемого объекта (поиск, нахождение и выделение);

моделирование выделенных отношений в предметной, графической или буквенной форме;

превращение модели отношений для изучения их особенностей в “чистом виде”;

построение системы отдельных задач, которые решаются общим способом;

контроль за выполнением предыдущих действий;

оценка усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи [5, 159 -- 160].

Учитель в процессе обучения целенаправленно и последовательно ведет детей от одной учебной задачи к другой. За решением одной задачи идет постановка следующей. Отрезок времени от постановки одной “стратегической” задачи к другой через выполнение промежуточных “тактичных” задач А.Б. Воронцов называет актом учебной деятельности[2, 212 -- 214].

Когда учитель освоил технологию организации полного акта учебной деятельности и в соответствии с ним организует полноценную учебную деятельность школьников, то можно говорить, что он овладел технологией развивающего обучения.

Центром учебной деятельности является субъект. Позиция субъекта характеризуется самостоятельным осуществлением всех этапов деятельности: постановки цели, планирования, реализации цели и анализа полученных результатов. Младший школьник как субъект осуществляет собственную учебную деятельность вместе с другими детьми и с помощью учителя. Возникновение у школьника потребности в учебной деятельности, возникновение мотивов учебных действий способствует формированию у него желания учиться. Овладение учебными действиями с помощью которых решаются учебные задачи, формирует у ребенка умение учиться. Именно желание и умение учиться характеризуют младшего школьника как субъекта учебной деятельности. При этом от овладевает такими важными личностными качествами, как самостоятельность, инициативность, ответственность.

Глава 2. Сравнительный анализ методики ознакомления с равенствами, неравенствами, уравнениями в традиционной школе и системе РО

Изучение алгебраического материала начинается с подготовительного класса и проходит в тесной связи с изучением арифметического и геометрического материала.

Учащиеся начальных классов знакомятся с такими важнейшими понятиями как равенство, неравенство, уравнение.

Что же такое равенство, неравенство, уравнение?

Неравенство -- отношение, связывающее два числовые выражения или два числа посредством одного из знаков ”>” (больше), ”<” (меньше), ”” (больше или равно), ”” (меньше или равно), ”” (не равно).

Равенство с переменной f(х) = g(х) называется уравнением с одной переменной.

Переходим к краткому обзору методики ознакомления с числовыми равенствами, неравенствами, уравнениями в традиционной школе.

Понятия о равенствах, неравенствах, уравнениях раскрываются во взаимосвязи.

Числовые равенства и неравенства изучаются параллельно. Упражнения с равенствами и неравенствами используются для раскрытия и применения арифметических знаний, а также для выработки вычислительных навыков.

Ознакомление с равенствами и неравенствами в традиционной школе непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий и происходит в несколько этапов.

2.1. Непосредственное сравнивание предметов

На подготовительном этапе в дочисловой период, нужно в процессе практических упражнений с использованием пар понятий научить детей сравнивать предметы и устанавливать отношение “больше”, “меньше”, “одинаково”. Приведем примеры наиболее распространенных пар понятий: больше-меньше, выше-ниже, шире-уже, правее-левее, старше-моложе, тяжелее-легче, толще-тоньше, дальше-ближе, быстрее-медленнее.

С первых же уроков отрабатывается умение сравнивать численности множеств. При этом начинать нужно с упражнений на установление между множествами взаимно однозначного соответствия.

Основой таких упражнений могут служить различные ситуации из обыденной жизни: каждому ученику в классе взаимно однозначно соответствует его ранец; каждой чашке в чайном приборе однозначно отвечает блюдце, на которое ставят чашку.

Предлагая учащимся упражнения на сравнение численности множеств, целесообразно начинать с множеств, каждое из которых составлено из однородных предметов, например, одно множество состоит из треугольников, другое -- из квадратов. Через некоторое время переходят к сравнению множеств разнородных предметов.

Полезно ознакомить учащихся с различными приемами попарного соотнесения предметов двух множеств. Первым приемом будет являться наложение предметов на наборном полотне друг на друга. Второй прием -- изымание по одному предмету из каждого множества и откладывание полученных пар. Третий прием -- сравнение двух множеств, элементы которых нельзя изымать, например, множеств предметов, изображенных на рисунке. Четвертый прием целесообразно применять для сравнения двух множеств, нарисованных предметов, если эти предметы не расположены линейно. Такое сравнение предметов “один к одному” дает возможность устанавливать не только, где больше, а где меньше, но и на сколько больше, на сколько меньше. Уже в подготовительный период включают упражнения на преобразование неравночисленных множеств в равночисленные и обратно.

Таким образом происходит непосредственный способ сравнения предметов в традиционной школе.

Система РО. Необходимость сравнения по какому-либо признаку возникает в ситуации восстановления какого-либо объекта, обладающего изучаемыми свойствами.

Именно задача восстановления (а затем и воспроизведения) вынуждает ребенка выделить свойства предметов и сконструировать способы их сравнения по выделенному признаку.

Сначала ребенок выполняет практическое действие сравнения различных реальных предметов, которые можно взять в руки. В школе дети должны работать не с рисунками, а с реальными предметами. Желательно, чтобы каждый ребенок имел возможность работать с предметным материалом. Если такой возможности нет, и учитель использует демонстрационные пособия, то с ним работает не учитель, а дети (по очереди выходя к доске), с их помощью показывая, как они мыслят.

Затем ребенок сравнивает объекты, которые нельзя взять в руки.

Каким же образом это происходит?

а) выделяются те признаки предмета, по которым его можно сравнивать с другими;

б) находят разные способы сравнения предметов, например, при сравнении по длине дети опираются на зрительное восприятие, т.е. первоначально сравнивают “на глаз”, а затем, когда этот способ не срабатывает, находят другие способы (наложение, приложение).

Научившись сравнивать предметы (полоски, стороны геометрических фигур или тел и др.) по длине, ширине и высоте, ребенок попадает в ситуацию, когда этого его умения станет недостаточно для сравнения. Например, когда вместо привычных полосок -- прямоугольников он сталкивается с кругом, у которого ребенок не может обнаружить ставшие привычными длину и ширину, тогда он стоит перед необходимостью сравнения по другому признаку -- площади.

Такой общий подход к появлению новых признаков сравнения предметов позволяет ребенку уже на первых этапах обучения использовать его при решении целого класса частных задач на сравнение, что в свою очередь, значительно расширяет набор признаков, по которым можно сравнивать предметы. Например не только по длине (ширине, высоте), площади, объему, массе, форме, цвету, материалу, количеству, но и по углам, расположению на плоскости и в пространстве, по составу частей и даже по “красоте”. Сравнение по “красоте” является ключом к формированию каллиграфического навыка.

Таким образом, действуя с реальными предметами, их признаками и результатами сравнения по заданному признаку, дети выделяют существенные связи и отношения между компонентами действия выполняя три основных типа заданий:

а) есть предметы, известен признак -- необходимо установить результат сравнения;

б) есть предметы, известен результат сравнения -- нужно установить, какой признак был выбран;

в) известны признак и результат сравнения -- подобрать соответствующие предметы.

Вариативность этих заданий очевидна, что позволяет в полном объеме контролировать свои действия и по мере необходимости их перестраивать.

Сравнивая предметы по тому или иному признаку, дети устанавливают отношение равенства или неравенства (на первых порах фиксируя результат сравнения с помощью слов: “они одинаковые”, “равные”, “их столько же” или “они неодинаковые, разные, неравные” и т.д.).

Необходимо заметить, что чем больше слов-синонимов для описания отношений равенства и неравенства будет использовать учитель, тем легче будет детям “переводить” тексты арифметических задач на язык математики. Для введения сравнения групп предметов сначала необходимо ввести понятие комплекта, включающего составные части, а затем научиться сравнивать комплекты по составу частей. При сравнении комплектов по составу (набору) частей будет иметь значение не цвет, не размер частей, а только их набор. Это даст возможность сравнивать разные группы предметов по отношению к определенному комплекту, включающему тот или иной набор частей.

2.2. Моделирование отношений равенства и неравенства: