Формування просторових уявлень учнів є головним завданням даної теми. Тому важливе місце треба відвести їх навчанню зображати просторові фігури на площині і застосуванню цих зображень до розв'язування задач. І зробити це доцільно якомога раніше.
Для ілюстрації розглядуваних понять і теорем доцільно використовувати найпростіші тіла, зокрема куб і тетраедр.
У більшості навчальних посібників з геометрії відношення паралельності прямих і площин розглядається раніше перпендикулярності. Цей підхід дозволяє більш чітко і повно подати ідеї аксіоматичної побудови геометрії, сконцентрувати увагу учнів на задачах на доведення і побудову, зокрема на проекційному кресленні.
Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості викладання теми. Головним в цьому є формування чітких уявлень про взаємовідношення властивостей геометричних об'єктів (прямих, площин) і відношень між ними і предметами навколишнього середовища.
При вивченні стереометрії постійно доводиться спиратися на зв'язок між планіметричними та стереометричними поняттями та фактами. З одного боку, необхідно максимально використовувати аналогію між ними у ряді випадків. А з іншого боку, необхідно попередити необґрунтоване перенесення „плоских” результатів у простір.
Конспект уроку
Тема уроку. Основні поняття стереометрії. Просторові тіла. Аксіоми стереометрії.
Мета уроку: ознайомити учнів з основними поняттями стереометрії, сприяти формуванню в учнів уявлень про найпростіші просторові тіла, про аксіоматичний метод, розвитку навичок логічного виведення, а також застосування аксіом стереометрії та наслідків з них до розв'язування задач.
Освоївши матеріал уроку учні повинні:
знати:
- що вивчає стереометрія;
- що є найпростішими фігурами простору;
- аксіоми стереометрії;
- теореми про існування та єдність площини, що проходить:
а) через пряму та точку, яка їй не належить;
б) через три точки, що не лежать на прямій.
вміти:
- зображати та знаходити на малюнках прямі і площини;
- застосовувати аксіоми стереометрії та наслідки з них до розв'язування задач;
- зображати та знаходити на малюнках паралельні, мимобіжні прямі та прямі, що перетинаються.
Хід уроку
І. Вступ
У 10 класі ви починаєте вивчати новий розділ геометрії - стереометрію. У молодших класах ви вивчали такий розділ, як планіметрія, тобто всі фігури (точка, пряма, трикутник, трапеція тощо) ви вивчали на площині. Саму ж площину як фігуру не розглядали.
ІІ. Пояснення нового матеріалу
Основні поняття стереометрії
Стереометрія - це розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі. Найпростішими фігурами простору є:
- точка: А, В, С,...
- пряма: а, в, с,...
- площина: ,..., (АВС).
Площину ми уявляємо собі як рівну поверхню кришки столу і тому будемо зображати її у вигляді паралелограму.
площина (АВС)
Взагалі площини позначаються грецькими літерами: . Площина, як і пряма, нескінченна. На малюнку ми позначаємо тільки частину площини, але уявляємо її необмежено продовженою у всі сторони.
площина
Введемо основні позначення:
АВ - пряма;
[АВ] - відрізок;
[АВ) - промінь з початком в точці А;
|АВ| - довжина відрізку;
А є а належить
- точка А прямій а;
А а не належить
(АВС) - площина;
А є належить
- точка площині ;
А не належить
АВ належить
- пряма АВ площині ;
АВ не належить
{А; а} - точка А та пряма а належать площині ; точка А та пряма а визначають площину ;
а ? в = К - прямі а і в перетинаються в точці К;
а ? = N - пряма а і площина перетинаються в точці N;
= АВ - площини і перетинаються по прямій АВ.
Аксіоми стереометрії
Властивості геометричних фігур в стереометрії ми будемо встановлювати шляхом доведення теорем. Але щоб доводити теореми, нам необхідно спиратися на деякі вихідні твердження. Такі твердження називають аксіомами. Оскільки на цих твердженнях ґрунтується доведення теорем стереометрії, то вони отримали назву - група аксіом С.
С1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать цій площині.
С2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.
}
С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і притому тільки одну.
а ? в| {а, в},
- єдина.
Таким чином, група аксіом С, а також ті аксіоми, що ви вивчали у молодших класах у розділі планіметрія, і складають систему аксіом стереометрії.
Зауважимо, що не всі аксіоми планіметрії механічно переносяться до системи аксіом стереометрії. Прикладом тому є аксіома ІV: пряма розбиває площину на дві півплощини. Проілюструємо її на рисунку.
Як бачимо, аксіому ІV слід формулювати тепер таким чином: пряма, що належить площині, розбиває її на дві півплощини.
Також нагадаємо аксіому І планіметрії, оскільки вона знадобиться нам для доведення теорем.
І. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать цій прямій. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і притому тільки одну.
Наслідки з аксіом
Теорема 1. Через пряму і точку, що належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.
Дано: пряма АВ, точка С АВ.
Довести: 1) існує {АВ, С};
2) єдина.
Доведення
1) Проведемо пряму АС (аксіома І). АС і АВ різні, оскільки С АВ. За аксіомою С3: АВ і АС визначають площину .
2) Доведемо єдність (методом від супротивного).
Нехай існує ще одна площина , що проходить через АВ і точку С. За аксіомою С2: точки А, В і С повинні лежати на одній прямій. Це суперечить умові, що С АВ. Припущення не вірне.
– Маємо дві точки А і С, яку аксіому планіметрії можна використати?
– Погляньте на малюнок: маємо дві прямі, що перетинаються. Яка аксіома тут працює?
– Яким методом в геометрії доводиться єдність чого-небудь?
– З якою умовою задачі ми отримали протиріччя?
Теорему доведено.
Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.
А |
.
В |
Опорна задача. Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони перетинаються по прямій, що містить ці точки.
Наслідок. Пряма і площина
не перетинаються
(немає спільних точок) перетинаються
(мають одну спільну точку)
(принаймні дві
спільні точки)
Теорема 3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.
Дано: а.
Довести: 1) існує ;
2) - єдина.
Доведення.
1) Проведемо прямі АВ і АС (аксіома І), вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через прямі АВ і АС можна провести площину .
2) Доведемо єдність.
За теоремою 2: . За аксіомою С3 така площина єдина.
Побудова перерізів просторових фігур
Перерізом многогранника називається многокутник, що утворюється при перетині многогранника з площиною.
Щоб будувати прості перерізи, слід вміти будувати:
1) лінію перетину двох площин
Для цього знаходять дві точки шуканої прямої і через них проводять пряму
2) точку перетину прямої і площини
Для цього знаходять у даній площині пряму, що перетинає дану пряму; точка перетину цих прямих є шуканою. Ці прямі повинні лежати в одній площині
ІІІ. Практичне закріплення нового матеріалу
Задача 1. Дано зображення піраміди SABC. Побудувати переріз піраміди площиною , що проходить через ребро АВ і точку К.
Розв'язання
При розв'язуванні використаємо опорну задачу.
1) К є (SCB),
K є ,
В є (SCB),
B ,
2) К є (SCA),
K ,
А є (SCA),
A ,
3) ДКАВ - шуканий переріз.
Задача 2. Точка М - середина ребра АА1 куба АВСДА1В1С1Д1. побудувати точку перетину прямої Д1М з площиною (АВС).
1) МД1 (АА1Д1),
АД (АА1Д1),
2) АД ? МД1 = К,
3) точка К - шукана.
ІV. Домашнє завдання. Підсумки уроку
Коментарій домашнього завдання: вивчити конспект, № 1, № 7 (за підручником Погорєлова А. В. Геометрія 7-11 кл., Просвещение, 1989), розв'язати задачу.
Задача. Побудувати переріз куба АВСДА1В1С1Д1 площиною, що проходить через точку М - середину ребра АА1 та діагональ В1Д1. Обчислити периметр перерізу, якщо ребро дорівнює 10 см.
Тестові завдання
1. а) Які з наведених фігур можуть бути тільки плоскими, а які -- тільки просторовими?
1) круг; 2) куля; 3) квадрат; 4) куб; 5) прямокут-ний паралелепіпед; 6) ромб; 7) піраміда; 8) циліндр.
б) Наведіть приклади плоских та просторових фігур з навколишнього оточення.
2. Назвіть вершини, ребра та грані многогранників, зображених на малюнках.
а) б)
3. Дано зображення куба АВСДА1В1С1Д1. Вкажіть:
а) точки, що не належать грані АА1ДД1;
б) точки, що належать грані ВВ1С1С.
4. Дано зображення куба АВСДА1В1С1Д1. Вкажіть:
а) пряму перетину грані АА1Д1Д і нижньої основи;
б) пряму перетину грані ВВ1С1С і нижньої основи.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22
