В этом пособии рассматриваются следующие темы: отрицание высказываний, понятие отрицания, решение задач с помощью отрицания, свойства отрицания, отрицание отрицания, поиск противоречия, утверждения, одинаковые по смыслу, умозаключения. А так же такие темы как логические операции и признаки делимости, свойства импликации, конъюнкция высказываний, дизъюнкция высказываний, отрицание конъюнкции и дизъюнкции. Здесь много нестандартных задач, и на многие дается решение.

К каждой теме даны задачи, решения некоторых задач подробно рассмотрены, во многих задачах рассматривается не один способ решения. Почти в каждой теме присутствуют тесты, на каждый тест отводится определенное количество времени. В конце пособия даны ответы к задачам и тестам.

Знакомясь с логикой с помощью данного пособия, ребята научатся логически правильно мыслить, составлять таблицы истинности, а в конце ответив на вопросы теста, смогут оценить свои успехи.

Проведенный анализ учебников показывает, что количество задач содержащие элементы логики намного меньше ожидаемого и недостаточно для формирования логической культуры у учащихся. Обучение математике сводится к проработке отдельных частей курса элементарной математики, к решению типичных задач и обучению, основным приемам их решения.

Учитель вынужден идти по пути решения задач заданного типа с последующим формированием и развитием навыков подведения под тип. Такое преподавание является одной из причин того, что, за редким исключением, учащиеся не умеют решать задачи. Они с трудом выделяют из задачи данные и искомые величины, плохо анализируют их взаимосвязь, неудачно строят логические цепочки и делают выводы, то есть говоря более широко, у них отсутствуют навыки логического конструирования.

Многолетний опыт показал, что чаще всего добиваются хороших результатов в учебе, успешно поступают в ВУЗы те, кто в среднем звене школы овладел умением самостоятельно мыслить, творчески подходить к выполнению любого задания, искать различные варианты решения и отбирать среди них наиболее оптимальный. И целиком успех зависит от учителя, от его умения и желания подойти к обучению творчески, не зацикливаясь на учебнике, предусмотренном учебным планом.

Равносильность предложений

Цель: сформировать понятие равносильности, научиться применять на практике полученные знания.

Эту тему дают обычно уже в конце 5 класса, когда ученики уже знакомы со знаком равносильности, который они использовали для краткой записи свойств делимости.

Следует отметить, что понятие равносильности предложений относится не столько к математике, сколько к естественному языку. Как в обычном, так и в математическом языке одну и ту же мысль можно выразить несколькими разными способами. Например:

1) 32 < 64, 64 > 32.

2) Саша - брат Кати, Катя - сестра Саши.

3) 5x + 10 = 15, x = 1.

Обратите внимание на знак равносильности, который употребляется для краткой записи утверждения и обозначает, что два предложения означают одно и то же. Например:

3 < 5 5 > 3

Обратите внимание на то, что если убрать из него стрелки слева и справа, то останется знак равенства. Знак равенства между двумя числовыми выражениями показывает, что эти выражения имеют одно и то же значение. Точно так же, как при преобразованиях числовых выражений мы пишем цепочку равенств:

Так же следует отметить, что равносильные высказывания одновременно истинны или ложны. Например, высказывания «Некоторые цветы бывают синими» и «Встречаются синие цветы» истинны. Но даже очень похожие по виду выказывания могут быть одно истинным, а другое ложным. Например, высказывания «Все кошки четвероногие» и «Все четвероногие - кошки», не являются эквивалентными, так как первое высказывание истинное, а второе ложное.

На этом этапе следует закрепить материал. Задания могут быть следующего содержания:

2) Выяснить, какие из приведенных пар высказываний являются эквивалентными:

а) Число x делится на 2.

Число x оканчивается на 2.

б) Хищники не едят траву.

Нет хищников, которые не едят траву.

в) Не все металлы тонут в воде.

Есть металлы, которые не тонут в воде.

3) Используя знак равносильности, записать решение уравнений:

а) 2а - 3 = 25

б) 34 + 18 * в = 43

3) Записать в виде равенств утверждения, равносильные следующим:

а) Число m на 5 больше числа р.

б) При делении числа а на число b получается в частном с.

4) Какие из следующих утверждений верны:

а) Число x в 2 раза больше y x = y + 2

б) Число m составляет 30 % числа n m = n/ 100 * 30

в) Углы А и В смежные Сумма углов А и В равна 180 градусов.

Отрицание высказываний

Эту тему можно ввести в начале 6 класса, т. к. здесь ученики начинают решать более сложные задачи, которые требуют правильности в рассуждениях.

Цель: сформировать понятие отрицания, научиться строить отрицание высказываний, изучить закон исключенного третьего, научиться применять на практике полученные знания.

Мотивация: нередко в жизни людям приходится спорить. Каждый в споре, доказывая свою правоту, убеждает собеседника, что тот не прав. Но всегда в споре кто-то прав, а кто-то ошибается. Тогда говорят, что их утверждения отрицают друг друга. Каждое из них называется отрицанием другого.

Приведем примеры предложений, в которых в каждой паре высказываний одно является отрицанием другого.

Вывод: из таблицы ясно, что как высказывание, так и отрицание может быть ложным. Если высказывание - истина (ложь), то его отрицание - ложь (истина).

Далее необходимо переключить внимание учеников на математику, отметив, что в математике также нередко встречаются задачи, в которых приходится строить отрицания. Это необходимо для того, чтобы отбросить все лишние, «ненужные» случаи и получить единственно правильное решение.

Так как с отрицаниями нам приходится встречаться и в математике, и в жизни, очень важно научиться правильно формулировать отрицание любого заданного предложения. И на этом этапе необходимо дать определение отрицанию.

Отрицание есть логическая операция, превращающая истинное высказывание в ложное, а ложное высказывание в истинное.

Символически отрицание записывается как , где - сложное или простое высказывание, а символы означают операцию отрицания. Читается: неверно, что А. Например:

В нашем доме живет белая кошка.

Его отрицание будет звучать следующим образом:

Неверно, что в нашем доме живет белая кошка.

Делаем вывод о том, что для формулировки отрицания сначала «мысленно» присоединяем к предложению слова «Неверно, что», а затем «обрабатываем» полученное отрицание так, чтобы оно звучало грамотно. Для этого рассмотрим таблицу:

Необходимо сформулировать закон исключенного третьего: если данное предложение истинно, то его отрицание ложно, и наоборот, если данное предложение ложно, то его отрицание истинно.

Примерные задания:

1. Скажите то же самое по-другому:

а) Неверно, что все млекопитающие живут на суше.

б) Неверно, что 5 делится на 2.

в) Неверно, что некоторые рыбы летают.

2. Построить отрицание предложений с помощью слова неверно и в более простой форме.

а) Сегодня будет солнечно.

б) Все собаки любят кошек.

в) Курица - домашняя птица.

г) Весной снег всегда тает.

д) 150 меньше 200.

Страницы: 1, 2, 3, 4