1. Какие из предложенных на рисунке фигур являются разверткой правильной 6-тиугольной призмы? (Ответ а))

2. В кубе ABCDEFGH точки M, N и K расположены на ребрах EF, CG, AD соответственно так, что EM = MF, CN : NG = 1 : 2, AK : KD = 1 : 3. Построить сечение куба плоскостью MNK.

3. Установите вид параллелепипеда, если а) все грани равны; б) все грани равновелики; в) все его диагонали равны; г) два диагональных сечения перпендикулярны основанию; д) две его смежные грани - квадраты; е) перпендикулярное сечение к каждому ребру является прямоугольником.

4. В основании наклонной призмы правильный пятиугольник. Сколько граней у данной призмы? (5) Какими геометрическими фигурами являются ее грани? (параллелограммами) Могут ли среди боковых граней быть прямоугольники? (да) Изобразите данную призму.

5. Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.

6. Площади двух боковых граней наклонной треугольной призмы равны 40 и 30 см2. Угол между этими гранями прямой. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (AB = BC) как провести на его поверхности кратчайшую линию, соединяющую вершины В и D1 (ответ может быть получен при помощи развертки двух смежных граней)?

Констатирующий срез показал, что не все рассматриваемые умения сформированы на данном этапе у школьников.

· с первым заданием справились 21 человек, что составляет 75%, частично справились 15%, не справились 10%;

· со вторым заданием справились 38% учащихся, 18% частично справились, а 44% не справились с заданием;

· с третьим заданием 55% полностью справились, 20% справились частично, 25% не справились;

· с четвертым заданием 40% справились, 21% справились частично, 39% не справились;

· с пятым заданием 43% справились, 27% справились частично, 30% не справились;

· с шестым заданием 48% справились, 27% справились частично, 25% не справились;

· с седьмым заданием 56% справились, 27% справились частично, 17% не справились (рис. 2).

Под термином «умение сформировано полностью» в данном случае понимается выполнение задания с обоснованием и пояснением ответа, а также хода решения. Под «умение сформировано частично» понимается выполнение задания с нечетким пояснением, либо с пропуском некоторых промежуточных рассуждений в ходе решения. Под «умение не сформировано» понимается невыполнение задания. Чаще всего ошибки возникали в заданиях второго, третьего и седьмого типов из-за определенной неподготовленности к решению такого типа заданий, а также из-за недостаточных теоретических знаний.

Для сравнения результатов констатирующего среза в качестве контрольной группы была взята параллельная группа ТП - 1. После проведенного аналогичного среза были получены следующие результаты.

· с первым заданием справились 20 человек, что составляет 72%, частично справились 16%, не справились 12%;

· со вторым заданием полностью справились 40% учащихся, 18% справились частично, а 42% не справились с заданием;

· с третьим заданием 57% полностью справились, 23% справились частично, 20% не справились;

· с четвертым заданием 47% справились, 15% справились частично, 38% не справились;

· с пятым заданием 40% справились, 27% справились частично, 33% не справились;

· с шестым заданием 45% справились, 30% справились частично, 25% не справились;

· с седьмым заданием 60% справились, 23% справились частично, 17% не справились (рис. 3).

Как показывают полученные данные и в контрольной группе, и в экспериментальной результаты оказались практически одинаковыми. Но также результаты показали, что большинство ошибок было связано с недостаточной сформированностью пространственного воображения.

Таким образом, в данном параграфе представлена организация проведения разработанной методики, констатирующий срез, его результаты. Далее, более подробно остановимся на анализе каждого занятия проведенных уроков и выделим основные затруднения школьников. Этому посвящен следующий параграф.

2.2 Формирующий эксперимент

На втором этапе эксперимента - формирующем - уточнялась гипотеза исследования, рассматривались основные положения курса геометрии в рамках компьютерного обучений; были разработаны входной и выходной контроли для определения уровня знаний, умений и навыков в начале и конце изучаемых тем с целью оценки степени усвоения знаний в процессе обучения и выяснения причин возникающих трудностей.

Данный этап был направлен на формирование и развитие пространственного воображения школьников с использованием информационных технологий.

Эксперимент по формированию пространственного воображения обучения стереометрии с использованием информационных технологий было решено провести на первом курсе Соликамского горно-химического техникума на примере разделов «Цилиндр», «Конус», «Сфера. Шар».

Обучение происходило по разработанной нами методике.

Одним из основных условий формирования пространственных представлений в процессе обучения стереометрии является использование упражнений, ориентированных на формирование и развитие комплекса умений, составляющих содержание пространственных представлений и характеризующих их сформированность. Но не все упражнения можно считать такими, а лишь те, которые требуют оперирования ранее созданными пространственными представлениями, в которых происходит включение пространственных представлений в новые связи, помещение их в новые условия, определяемые условием задачи. В ходе пространственных представлений обучаемый определяет порядок действий, пытается в уме выполнить некоторые из знакомых ему операций, рассмотреть возможные варианты решения задачи, прогнозировать результат. Каждый геометрический образ имеет определенную структуру, позволяющую зрительно выделить и проанализировать его логический «фундамент».

Нами выделены основные типы упражнений, ориентированные на формирование и развитие пространственных представлений при обучении геометрии:

- упражнения на исследование свойств геометрических объектов (узнавание);

- упражнения на изображение геометрических конфигураций (воспроизведение);

- упражнения на преобразование образов геометрических конфигураций (оперирование);

- упражнения на конструирование новых образов геометрических конфигураций.

Разработка данной типологии основана на видах деятельности, составляющих содержание процесса формирования и развития пространственных представлений при обучении (узнавание, воспроизведение, оперирование и конструирование пространственных представлений). Необходимо отметить, что в каждой из этих групп должны присутствовать упражнения, решение которых требует использования средств наглядности (моделей, рисунков, чертежей и т.п.) и упражнения, заданные словесным описанием и решаемые в воображении.

I. Упражнения на исследование свойств геометрических объектов

Суть этой группы упражнений состоит в следующем: пространственный объект задается с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания. Требуется исследовать его свойства - выделить форму, определить размеры или взаимное расположение его элементов и т.п.

а). Задачи-вопросы на распознавание объекта по изображению или словесному описанию. Их основная цель - определить, принадлежит ли данный объект объему указанного понятия. Распознавание пространственных объектов осуществляется с опорой на ранее сформированные пространственные представления и знания о них.

Пример 1. Существует ли четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой?

Пример 2. Могут ли все боковые грани шестиугольной пирамиды быть равносторонними треугольниками?

Пример 3. Установите вид параллелепипеда, если а) все грани равны; б) все грани равновелики; в) все его диагонали равны; г) два диагональных сечения перпендикулярны основанию; д) две его смежные грани - квадраты; е) перпендикулярное сечение к каждому ребру является прямоугольником?

б). Задачи на выделение требуемых фигур из состава чертежа.

Пример. ABCDEKMO - изображение куба. Выпишите все изображенные на рисунке пирамиды и призмы, указывая вид фигуры.

в). Задачи на сопоставление различных видов изображений данного пространственного объекта (модели, развертки, чертежа, рисунка, проекции и т.п.).

Пример. Какие из предложенных на рисунке конфигураций являются развертками данного куба?

г). Задачи на определение взаимного расположения объектов и их элементов.

Пример 1. Вершины А и В параллелограмма лежат в плоскости в, а его вершина С не принадлежит этой плоскости. Как могут быть расположены относительно в стороны AD и CD параллелограмма?

Пример 2. Прямая р не имеет общих точек с линией пересечения плоскостей и . При этом р принадлежит. Как она может быть расположена относительно плоскости ?

Задания на распознавание объекта на основе сопоставления его различных изображений предполагает мысленное сопоставление разнотипных изображений объекта (рисунка и чертежа, развертки и модели и т.п.). Задание способствует формированию и развитию умения создавать пространственный образ на основе восприятия различных изображений.

В процессе выполнения заданий на распознавание пространственных объектов по их словесному описанию, необходимо мысленно представить описываемый объект и его элементы, удерживая его в памяти, проводить анализ и синтез пространственного образа, в некоторых случаях осуществлять глазомерную оценку линейных и угловых величин.

Таким образом, задания данного типа служат для развития умения распознавать пространственные образы, что характеризует уровень их создания, но в процессе создания часто приходится и оперировать образами, мысленно изменяя их пространственное положение, структуру, переходя от одного вида наглядности к другому. Эти действия способствуют активному развитию пространственных представлений.

II. Упражнения на изображение геометрических объектов

Задания этого типа предполагают изображение пространственного объекта, заданного своей проекцией или словесным описанием, с помощью рисунка, чертежа, а также построение проекций данных геометрических фигур по их наглядному изображению и т.п.

К таким заданиям можно отнести следующие виды задач.

а). Задачи на изображение пространственной фигуры, заданной словесным описанием.

Пример 1. В пирамиде с основанием в виде правильного треугольника одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Что представляют собой грани такой пирамиды? Каким образом проходит высота пирамиды? Изобразите данную пирамиду?

Пример 2. В основании наклонной призмы правильный пятиугольник. Сколько граней у данной призмы? Какими геометрическими фигурами являются ее грани? Могут ли среди боковых граней быть прямоугольники? Изобразите данную призму.

б). Задачи, в которых требуется достроить фигуру или восстановить чертеж.

Пример. 1. Достройте изображение фигуры до куба:

Пример 2. Достройте изображение фигуры до треугольной пирамиды:

Пример 3. Достройте изображение фигуры до произвольного многогранника:

Пример 4. Достройте изображение многогранников по заданным вершинам: треугольная пирамида; треугольная призма;

в). Задачи на построение и использование разверток пространственных фигур.

Пример 1. Нарисуйте разные развертки: а) правильного тетраэдра, б) куба.

Пример 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (AB = BC) как провести на его поверхности кратчайшую линию, соединяющую вершины В и D1 (ответ может быть получен при помощи развертки двух смежных граней)?

Пример 3. Постройте развертку наклонной треугольной призмы.

г). Задачи, в которых по наглядному изображению или словесному описанию пространственного объекта требуется построить ее проекции.

Пример 1. Какая фигура может быть проекцией: а) отрезка, б) треугольника на данную плоскость (рассмотреть различные направления проектирования)?

Пример 2. Какое наименьшее число сторон может иметь параллельная проекция на плоскость выпуклого многогранника, имеющего n граней?

Пример 3. Многогранник имеет n вершин. Показать, что существует его параллельная проекция на плоскость, имеющая: не менее четырех вершин, не более n - 1 вершины.

д). Задачи, в которых по заданной проекции пространственного объекта необходимо восстановить его наглядное изображение.

Пример. Нарисуйте многогранник, заданный проекциями на три попарно перпендикулярные плоскости:

Развитие и совершенствование умений решать геометрические задачи обуславливает графическая культура учащихся, их умения выполнять рисунки, способность и навыки к визуализации задачи. Развитию конструктивных умений и навыков активно способствует приведенная группа задач. Кроме того, все они направлены на развитие пространственных представлений и воображения. Ведь в процессе решения таких задач, прежде чем изобразить пространственный объект с помощью рисунка или чертежа, необходимо отчетливо представить его, мысленно выполнить определенные конструктивные операции с его элементами. Задачи, выполняемые без применения чертежных инструментов, развивают глазомер, точность движений, что также является характеристикой развитых пространственных представлений.

Большую роль для развития умений оперировать созданным пространственным образом играют задачи на построение и использование разверток пространственных фигур. В процессе построения развертки необходимо мысленно развернуть геометрическую фигуру, сопоставить полученный результат с наглядным изображением (или существующим представлением), осуществлять анализ и синтез пространственного образа, удерживая его в памяти, изменять пространственное положение и структуру образа. В результате этих действий получен новый образ - развертка.

III. Упражнения на выполнение геометрических преобразований на плоскости и в пространстве

Этот тип включает упражнения на различные геометрические преобразования исходных образов пространственных фигур, которые выполняются как в пределах плоскости, так и в пространстве. К ним можно отнести следующие задачи.

а). Задачи на отыскание множеств точек - образов при определенном геометрическом преобразовании точки.

Постройте произвольный прямоугольник и его образ при симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей. Какая фигура является пересечением (объединением) данного прямоугольника и его образа?

б). Задачи на установление числа осей (плоскостей, центров) симметрии.

Пример 1. Найти множество осей симметрии у двух данных точек М и Р на плоскости и в пространстве.

Пример 2. Сколько плоскостей симметрии имеет а) куб, б) цилиндр?

Пример 3. Приведите пример фигуры, имеющей более одного центра симметрии.

в). Задачи на построение осей (центров, плоскостей) симметрии или фигур имеющих оси (центры, плоскости) симметрии.

Пример 1. Начертите два угла, таких, что один из них может быть получен из другого с помощью центральной симметрии.

Пример 2. Отметьте три точки А, В, С. Дополните это множество четвертой точкой D так, чтобы фигура Ф = {A, B, C, D} имела а) центр симметрии; б) ось симметрии. Рассмотрите все возможные случаи.

Пример 3. Будет ли фигура, являющаяся объединением полосы и прямой, не принадлежащей ей, иметь центр симметрии? Рассмотрите все возможные случаи.

г). Задачи на создание новых образов пространственных объектов путем геометрических преобразований исходных.

Пример. В прямоугольнике ABCD мысленно проведите прямую АК (К - середина стороны ВС), представьте, что прямоугольник разрезан по ней и треугольник АВК повернут вокруг точки К так, что ВК и КС совместились. В какую фигуру превратиться прямоугольник?

IV. Упражнения на конструирование и моделирование новых образов геометрических объектов

Задания данной группы предполагают выполнение мысленного или графического реконструирования и моделирования образ пространственных объектов.

Пример. Нарисуйте фигуру, получающуюся в пересечении двух равных цилиндров, оси которых пересекаются под прямым углом?

В процессе решения таких задач осуществляется конструирование качественно новых пространственных образов и новых отношений между ними, формируются и совершенствуются умения мысленно преобразовывать исходный образ по форме, величине, пространственному положению, то есть, их решение требует активного оперирования пространственными образами и высокого уровня развития пространственных представлений и воображения.

Совокупность данных упражнений можно рассматривать как одно из средств развития пространственных представлений учащихся в процессе изучения геометрии.

Методику формирования пространственного образа геометрического объекта при помощи информационных технологий рассмотрим на примере изучения тел вращения.

Первые два занятия были посвящены изучению темы «Цилиндр». Эти уроки проводились в соответствии с программой, но на каждом уроке использовалась презентация по данной теме. На них были изучены основные понятия и определения, связанные с цилиндром, выведены формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра; рассмотрены типовые и более сложные задачи по изучаемой теме. [см. Приложение 1]

Далее в течение четырех уроков изучалась тема «Конус». Обучение происходило по той же схеме, что и тема «Цилиндр», а так же здесь был изучен усеченный конус и все определения и формулы, связанные с ним. Были решены задачи, как простейшие, так и более сложные. [ см. Приложение 2]

После чего изучалась тема «Сфера. Шар» (4 часа). [ см. Приложение 3]

В процессе изучения тем «Цилиндр», «Конус» и «Сфера. Шар» нам удалось охватить весь объем теоретической информации. Нами были рассмотрены и отработаны задания на отработку основных умений и навыков, которые являются основными в процессе формирования пространственного воображения. При решении упражнений возникшие затруднения сразу устранялись по мере их возникновения и решались подобные задания на закрепление пройденного материала. Они были достаточно интересны и разнообразны по своему содержанию, отличались новизной формулировок, а также тем, что необходимо было логически мыслить при поиске ответа на поставленный вопрос. На каждом занятие были использованы информационные технологии. Занятия дали положительный результат по формированию умений:

ь сопоставлять различные изображения образа геометрической конфигурации (оперировать различной наглядностью);

ь анализировать образ геометрической конфигурации;

ь синтезировать образ геометрической конфигурации;

ь вычленять форму образа геометрического объекта;

ь определять взаимное расположение данного образа геометрического объекта относительно других образов;

ь определять взаимное расположение отдельных элементов образа геометрического объекта;

ь конструировать образы новых геометрических конфигураций и воспроизводить их с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания.

Для сравнения результатов констатирующего среза по формированию пространственного воображения был проведен контрольный срез. Ему посвящен следующий параграф.

2.3 Контрольный срез

Для выявления уровня сформированности вышеперечисленных умений с учащимися был проведен контрольный срез и сопоставлен с констатирующим срезом. Контрольный срез также проводился в двух группах. Цель контрольного среза - проверить уровень сформированности пространственного воображения учащихся по сравнению с констатирующим срезом. Кроме того, по результатам решения заданий контрольного среза можно было судить об уровнях сформированности умений работать пространственными фигурами. Все задания объединяла общая цель - сформировать пространственное воображение учащихся с использованием информационных технологий при изучении стереометрии. В срезе содержалось семь заданий, направленных на выявление уровня сформированности пространственного воображения школьников 10 - 11-х классов. Рассмотрим задания одного из вариантов.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8