Шаг 2: Применим теперь П6 к тройкам
и заключим отсюда, что точки U,V=OSÇ B’C’,P коллинеарны.
Шаг 3: Применим, наконец, П6 к тройкам
и заключим отсюда, что точки R, P=BSÇ UV (шаг2),Q=C’SÇ TU (шаг1) коллинеарны. ч.т.д.
Следствие: (из основной теоремы). Проективное отображение l - l’, где l¹ l’, есть перспективное отображение Û точка пересечения X=lÇ l’ переходит в себя.
В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваем теорему Дезарга, как аксиому. Покажем, что она справедлива на евклидовой плоскости. Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых, могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точек соединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой точке. Если соответствие таково, что пара соответствующих прямых пересекаются в точках лежащих на одной прямой, то говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой.
Сформулируем теорему Дезарга, покажем использование на евклидовой плоскости.
При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая.
Теорема Менелая гласит:
Если точки X,Y,Z лежащие на сторонах ВС,СА,АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1
Обратно, если это уравнение выполняется для точек X,Y,Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.
Теорема Дезарга.
Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три () пересечения коллинеарны.
Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности () прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’ перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в () R,Q,P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек.
í Q,C’,A’ý , í R,B’,C’ý , í P,A’,B’ý
Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом (AQ/CQ)*(CC’/OC’)*(OA’/AA’)=1(CR/BR)*(BB’/OB’)*(OC’/CC’)=1
(BP/AP)*(AA’/OA’)*(OB’/BB’)=1
Перемножим эти три выражения и проделав умеренное число сокращений, получим (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1Þ что () Q,R,P коллинеарны, теорема доказана.
Покажем использование предложения на евклидовой плоскости.
Теорема Паппа: Если А,С,В - три точки на одной прямой, а A’,C’,B’ - на другой, и если три прямые AB’,CA’,BC’ пересекают прямые A’B,C’A,B’C соответственно, то три точки пересечения P,Q,R коллинеарны.
рис. 1
Доказательство: Эта теорема как и теорема Дезарга использует принадлежность точек прямым или прохождение прямых через точки, без измерения длин или углов и даже без какой-либо ссылки на порядок; в каждом множестве из трех коллинеарных точек безразлично, какая из них лежит между двумя другими. (рис. 1, рис. 2)
рис. 2
При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая. Предположим, что три прямые AB’,CA’,BC’ образуют треугольник UVW.(рис. 3)
рис. 3
Применяя теорему Менелая к пяти тройкам точек
í P,A’,Bý , í A,Q,C’ý , í B’,C,Rý , í A,C,Вý , í B’,A’,C’ý ,
лежащих на сторонах этого треугольника, мы получаем.
(VP/WP)*(WA’/UA’)*(UB/VB)=1(VA/WA)*(WC/UC)*(UB/VB)=1
(VB’/WB’)*(WC/UC)*(UR/VR)=1VB'/WB')*(WA'/UA')*(UC'/VC')=1
(VA/WA)*(WQ/UQ)*(UC’/VC’)=1
Разделив произведение первых трех соотношений на произведение последних двух, производя сокращение, мы получаем:
(VP/WP)*(WQ/UQ)*(UR/VR)=1
то есть P,Q,R коллинеарны, теорема доказана.
№1. Если два треугольника перспективны относительно точки и две пары соответствующих сторон параллельны, то и две оставшиеся стороны параллельны.
Дано: треугольник PRQ и треугольник P’R’Q’ перспективны относительно точки О. QR||Q’R’, PR||P’R’
Доказать что: QP||Q’P’
Доказательство:
Так как QR||Q’R’ и RP||R’P’, то
(OQ/OQ’)=(OR/OR’)=(OP/OP’) Þ (OQ/OQ’)=(OP/OP’) Þ QP||Q’P’
№2.Назовите два треугольника перспективных относительно:
а) точки Р
б) точки Р’
в) точки D
Ответы: а) треугольники ROQ и EP’F б) треугольники EFP и R’Q’O’ в) треугольники R’RE и Q’QF.
№3. Если А,С,Е - три точки на одной прямой, B,D,F- на другой, и если прямые АВ и CD параллельны прямым DE и FA соответственно, то прямые EF||BC.
(|OE|/|OF|)=(|OC|/|OB|) Þ EF||CB.
№4. Пусть A,B,D,E,N,M - шесть точек, обладающих тем свойством, что прямые AE,DM,NB пересекаются в одной точке и прямые АМ,DB,NE пересекаются в одной точке. Что можно сказать о прямых AB,DE,NM?
Решение. Пусть AEÇ DMÇ NB=C, AMÇ DBÇ NE=F обозначим () пересечения прямых АВ и DE через L. По теореме Паппа ()LÎ MN Þ ABÇ DEÇ MN=L. Прямые AB,DE,NM пересекаются в одной точке.
№5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
AA’Ç BB’Ç CC’=S ?
Решение: Рассмотрим треугольник АВС и треугольник А1В1С1- дезарговые треугольники, то есть треугольники удовлетворяют теореме Дезарга.
лежат на одной несобственной прямой S¥
по обратной теореме Дезарга прямые, проходящие через соответствующие вершины, пересекаются в одной точке S.
AA’Ç BB’Ç CC’=S.
№6. В евклидовой плоскости в четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой || его диагонали. Доказать, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.
Решение: треугольники NCK и AMP дезарговые треугольники по прямой теореме Дезарга, соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в ()-ах, лежащих на одной прямой Þ ()F,D,B, то есть () пересечения непараллельных сторон трапеции принадлежат диагонали BD.
№7. В евклидовой плоскости противоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах второго. Доказать, что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.
Требуется доказать, что LNÇ MKÇ BDÇ AC=S
Решение.
ACÇ LNÇ BD - треугольники ALD и СNB - дезарговые треугольники удовлетворяют обратной теореме Дезарга Þ ACÇ LNÇ BD=S.
Треугольники DKC и BMA - дезарговые треугольники по обратной теореме Дезарга Þ MKÇ BDÇ AC=S
Получили ACÇ BDÇ MKÇ LN=S.
Оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.
№8. В евклидовой плоскости дан треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие - смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке.
Требуется доказать, что ANÇ BPÇ CM=S.
Решение: Треугольники ABC и NPM - дезарговые треугольники.
лежат на одной несобственной прямой P¥ по теореме обратной теореме Дезарга NAÇ BPÇ CM=S.
№9. В треугольнике АВС из его вершин проведены прямые, пересекающиеся в одной () S; A’=ASÇ BC, B’=BSÇ AC, C’=CSÇ AB. Доказать, что точки BCÇ B’C’, ACÇ A’C’, ABÇ A’B’ лежат на одной прямой.
Обозначим () пересечения сторон BCÇ B’C’, ACÇ A’C’, ABÇ A’B’ соответственно P,R,Q. Рассмотрим треугольники АВС и А’В’С’ прямые проходящие через вершины этих треугольников пересекаются в () SÞ () пересечения соответствующих сторон P,R,Q лежат на одной прямой.
№10. В конфигурации Дезарга одну из точек выбрать за дезаргову точку. Найти в этой конфигурации вершины дезарговых треугольников и дезаргову прямую.
Точка А- дезаргова точка
Треугольники A’RP и SCB - дезарговы треугольники
A’® SSCÇ A’R=C’
R® CSBÇ A’P=B’
P® BCBÇ RP=Q.
Точки C’,B’,QÎ S - дезаргова прямая.
№11. Сформулировать в терминах евклидовой геометрии теорему Дезарга для случая:
Формулировка теоремы Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой.
Формулировка.
Если прямые, походящие через соответствующие вершины двух треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в одной точке и AB||A’B’, B’C||BC, то AC||A’C’.
3) ()S¥ - несобственная, прямая S¥ - несобственная.
Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны и AB||A’B’, BC||B’C’, то AC||A’C’.
№12. Прямая p лежит в плоскости треугольника АВС; К=ВСÇ p, L=ACÇ p, M=ABÇ p, R=BLÇ CM, S=CMÇ AK, T=AKÇ BL.
Доказать, что прямые AR,BS и CT пересекаются в одной точке.
Требуется доказать, что ARÇ BSÇ CT=Q
Решение
Треугольники АВС и RST - дезарговы треугольники.
M,K,LÎ з (по условию)
Таким образом, по теореме обратной теореме Дезарга ARÇ BSÇ CT=Q.
№13. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана ()С не лежащая ни на одной из данных прямых. Построить прямую SC.
Построение.
Выбираем произвольно прямую s, () A,A’Î a и ()ВÎ b.
1)ABÇ s=P,2)PA’Ç b=B’,3)ACÇ s=R,
4)BCÇ s=Q,5)A’R, B’Q,6)B’QÇ A’R=C’,
7)CC’ искомая прямая.
Треугольники АВС и А’В’С’ - дезарговы треугольники, прямая s - дезаргова прямая.
Î s (по построению)
По обратной теореме Дезарга AA’Ç CC’Ç BB’=S.
№14. Даны две точки P и Q и не проходящая через них прямая c. построить () PQÇ C, не проводя PQ.
Анализ: Произвольно выбираем прямую s, ()Q1Î C,Q
QQ1Q2 - трехвершинник, построить РР1Р2 – трехвершинник,P1Î C, PQÇ P1Q1Ç P2Q2=S
Обратная теорема Дезарга.
Построение:
Треугольники QQ1Q2 и PP1P2 - дезарговы.
Î S (по построению).
По обратной теореме Дезарга. PQÇ P1Q1Ç P2Q2=S Þ PQÇ c=S искомая точка.
№15. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые a||b и точка С, им не принадлежащая. Через () С провести прямую, параллельную а и b.
Здесь работает обратная теорема Дезарга для случая ()S¥ - несобственная, прямая s - собственная.
Треугольники АВС и А’В’С’ - построить.
1)АВÇ s=P
2) A’PÇ b=B’
3) ACÇ s=R
4) BCÇ s=Q
5) A’R, B’Q
6) A’RÇ B’Q=C’
7) CC’ - искомая прямая.
3) Доказательство:
Треугольники АВС и А’В’С’- дезарговы
Формулировка обратной теоремы Дезарга.
Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в точках лежащих на одной прямой и АА’||BB’, то СС’||AA’.
По этой теореме СС’- искомая прямая.
№18. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию АВ, pÇ AD=M, pÇ AC=P, qÇ BD=N, qÇ BC=Q. Доказать, что точка MNÇ PQ лежит на прямой АВ.
Требуется доказать, что MNÇ PQÇ AB=K.
Решение:
Рассмотрим треугольники
МРА и NQB.
МРÇ NQ=S¥ , так как p||q. (pÇ q=S¥ )
PAÇ BQ=C
AMÇ BN=D
DC||p||q Þ DCÇ pÇ q=S¥ Þ C,D,S¥ Î одной прямой по теореме обратной теореме Дезарга MNÇ PQÇ AB=K.
Тем самым доказали, что точка МNÇ PQÎ AB.
№17. В евклидовой плоскости даны параллелограмм АВСD, ()РÎ CD и прямая l пересекающая стороны АВ и АD. Провести прямую || l.
2) Построение:
треугольники ANM и CPK - дезарговы, так как ANÇ CP=R¥ (AN||CP), CKÇ AM=Q¥ (CK||AM) то по теореме Дезарга KPÇ NM=F¥ Þ KP||NM.
Страницы: 1, 2, 3, 4
