Точки Р, Q и R называются диагональными точками полного четырехугольника. Диагональные точки P,Q и R могут оказаться коллинеарными. Однако на действительной проективной плоскости этого быть не может. Мы убедимся в этом позже, пока будем рассматривать случай коллинеарности диагональных точек как исключительное явление и поэтому введем следующую аксиому П7 (аксиома Фано).
П7: Диагональные точки полного четырехугольника неколлинеарны.
Предложение: Действительная проективная плоскость удовлетворяет аксиоме П7.
Определение: Полным четырехсторонником называется конфигурация, состоящая из семи прямых и шести точек, полученных следующим образом: рассмотрим четыре прямые a, b, c, d (такие, что никакие три из них не являются сходящимися), шесть точек их пересечения и три новые прямые p,q,r.
Соединяющие пары противоположных вершин полного четырехсторонника прямые p, q, r называются диагоналями полного четырехсторонника.
Предложение: Из того, что П7 выполняется на П Þ , что П7* выполняется на П*; поэтому принцип двойственности применим также и к следствиям из П7.
Докажем П7*: П7* в терминах П означает: диагонали полного четырехсторонника не являются сходящимися (не принадлежат одному пучку). Пусть a, b, c, d- "стороны" полного четырехсторонника; предположим, что диагонали p, g, r- сходящиеся. Но в этом случае диагональные точки полного четырехугольника АВСD, где А=bÇ d, B=cÇ d, C=aÇ b, D=aÇ c коллинеарны, что противоречит П7. Значит утверждение П7* справедливо.
Заметим, что определение четырехсторонника двойственно определению полного четырехугольника.
Определение: Упорядоченная четверка различных коллинеарных точек А,В,С,D называется гармонической четверкой, если $ полный четырехугольник XYZW, такой, что А и В являются его диагональными точками (например А=XYÇ ZW, B=XZÇ YW), а С и D принадлежат двум другим сторонам четырехугольника (например,CÎ XW, DÎ YZ).
Для гармонических точек А,В,С,D мы введем обозначение H (АВ, СD). Из того, что точки А,В,С,D образующие гармоническую четверку, различны, следует неколлинеарность диагональных точек определяющего эту четверку четырехугольника XYZW. Вообще понятие гармонической четверки точек в значительной мере теряет смысл, если аксиома Фано не выполняется; поэтому, говоря о гармонической четверке точек, мы всегда будем предполагать выполняемость П7.
Предложение 1: Н(АВ,СD)ó Н(BA,CD)ó H(AB,DC)ó H(BA,DC)
Доказательство: Это утверждение немедленно следует из определения гармонической четверки, так как А и В, С и D играют одинаковую роль в построении полного четырехугольника. Действительно, можно переставить буквы X,Y,Z,W,так, чтобы привести обозначение в соответствие с определением Н(ВА,СD)ч.т.д.
Предложение 2: Пусть А,В,С- три различные точки прямой. Тогда (если выполняется П7) $ точка D, такая, что Н(АВ,СD). Более того (если выполняется П5), можно утверждать, что подобная точка D единственная (D называется четвертой гармонической точкой для А,В,С или точкой, гармонически сопряженной к точке С по отношению к точкам А и В).
Предложение 3: Пусть А,В,С,D- гармоническая четверка точек. Тогда (если выполняется П5) C,D,A,B- тоже гармоническая четверка.
Объединяя это предложение с предложением 1, получаем:
H(AB,CD)Û H(BA,CD)Û H(AB,DC)Û H(BA,DC)
H(CD,AB)Û H(DC,AB)Û H(CD,BA)Û H(DC,BA)
Доказательство: Пусть Н(АВ,CD) и пусть XYZW- полный четырехугольник, с которым связано определение этой гармонической четверки.
Проведем DX и CZ и обозначим точку пересечения через U. Пусть, далее XWÇ YZ=T. Тогда XTUZ- полный четырехугольник, а С и D- две его диагональные точки. Точка ВÎ XZ, поэтому достаточно доказать, что TU проходит через А, так как в этом случае будем иметь H(CD,AB). Рассмотрим 2 треугольника XUZ и YTW. Пары их соответственных сторон пересекаются в точках D,B и С, но эти точки коллинеарны Þ по П5*,XY, TU, WZ соединяющие соответственные вершины принадлежат одному пучку.
Пример: На действительной евклидовой плоскости четыре точки А,В,С,D образуют гармоническую четверку тогда и только тогда, когда
(АС/ВС)*(ВD/AD)=-1
Определение: Проективное отображение- это отображение прямой l на l' (быть может, совпадающую с l), которое, может быть представлено как композиция перспективных отображений.
Обозначение: l – l’ или АВС…-А’В’С’…
Последняя запись означает, что проективное отображение переводит точки А,В,С,….соответственно в A',B',C',….
Проективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямых l и l' и является отображением на l'.
Определение: Перспективным отображением прямой l на прямую l' (обе прямые рассматриваются как множество точек) с центром О (точка О не принадлежит ни l, ни l') называется отображение А® A', где для произвольной точки АÎ l точка А' находится как ОАÇ l'.
Обозначение l = l’ ("l переводится в l' перспективным отображением с центром в ()О". Отметим, что перспективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками l и l' и является отображением l на l' и что отображение, обратное перспективному отображению,
также является перспективным отображением. Если ()Х=lÇ l', то Х (как точка l) переходит в Х (как точку l'). Композиция двух или более перспективных отображений уже не обязательно будет перспективным отображением: так мы имеем l = l’ = l’’ и ABCY = A’B’C’Y’ = A’’B’’C’’Y’’ если бы полученное в результате композиции отображений l = l и l = l отображение l на l'’ было перспективным, то в точку lÇ l’'=Y оно должно было бы переводить в себя. Однако у переходит в точку Y'', которая не совпадает с Y. Поэтому мы ввели проективное отображение.
Предложение 1: Пусть, задана прямая l. Тогда множество проективных преобразований (взаимно однозначное отображение множества М на себя называется преобразованием множества М). l образует группу. Это означает, что 1)композиция двух проективных отображений снова есть проективное отображение. 2)отображение, обратное проективному отображению, снова есть проективное отображение.
Предложение 2: Пусть задана прямая l и пусть А,В,С и A',B',C'- две тройки ее различных точек. Тогда $ проективное преобразование l, переводящее А,В,С в A',B',C'.
Доказательство: Пусть l'- прямая отличная от l и не проходящая через А и А’, а О произвольная точка не принадлежащая ни l, ни l'. Спроектируем из О точки A',B',C' прямой l в точки A’’,B’’,C’’, прямой l’: A'B'C' = A''B''C'', где АÏ l’ и А’’Ï l.
Ясно, что нам достаточно построить проективное отображение l на l’, переводящее A,B,C, в A’’,B’’,C’’.
Заменим в обозначениях двойные штрихи одинарными и забудем про исходные A’,B’,C’. Таким образом, наша задача свелась к следующей. Заданы две различные прямые l и l’. Пусть А,В,С- три различные точки l, а A’,B’,C’-три различные точки l’, предположим что AÏ l’ и A’Ï l. Требуется построить проективное отображение l на l’, переводящее А,В,С соответственно в A’,B’,C’. Проведем прямые AA’,AB’,AC’,A’B,A’C и положим AB’Ç A’B=B’’, AC’Ç A’C=C’’. Обозначим прямую B’’C’’ через l’’; пусть она пересекает AA’ в A’’. Тогда l = l’’ = l’ переводит ABC = A’’B’’C’’ = A’B’C’.
Таким образом, мы построили искомое проективное отображение l на l’ как композиция двух перспективных отображений.
Предложение 3: Проективное отображение переводит гармоническую четверку точек в гармоническую четверку.
Докажем “основную теорему”, которая утверждает, что существует единственное проективное преобразование прямой, переводящее три заданные точки в любые другие три заданные точки. Эта теорема не следует из аксиом П1-П5 и П7; поэтому нам предстоит дополнительно ввести аксиому Паппа П6.
Основная теорема (теорема о проективных преобразованиях прямой). Пусть задана прямая l и А,В,С;A’,B’,C’- две тройки различных точек этой прямой. Тогда существует одно и только одно проективное преобразование l, такое, что АВС - A’B’C’.
П6 (аксиома Паппа). Пусть l и l’-две различные прямые, А,В,С- три различные точки прямой l, отличные от Х=lÇ l’и А’,В’,С’- три различные точки прямой l’, отличные от Х. Тогда точки P=AB’Ç A’B, Q=AC’Ç A’C, R=BC’Ç B’C коллинеарны.
Предложение 1: Аксиома П6 влечет за собой двойственную аксиому Паппа П6*, то есть принцип двойственности применим и ко всем выводам из П6.
Предложение 2: На действительной проективной плоскости справедлива аксиома П6.
Лемма 1: Пусть l = m = n, где l¹ n, предположим еще, что или:
а)прямые l, m, n принадлежат одному пучку, или
б)точки O,P и lÇ n коллинеарны.
Тогда полученное проективное отображение l - n является перспективным (то есть $ такая точка Q, что перспективное отображение l = n совпадает с нашими проективными отображениями l - n).
Лемма 2: Пусть l = m = n,
Где l¹ n; предположим теперь, что не имеет места ни а) ни б) из условий леммы 1. Тогда $ прямая m’ и точки O’Î n и P’Î l, такие, что l = m = n есть рассматриваемое проективное отображение l на n.
Доказательство: Пусть l, m, n, O,P заданы; пусть далее A,A’- две точки на l и AA’ = BB’ = CC’. Точку пересечения ОР и n обозначим через O’. Так как мы предположили, что точки О,Р, lÇ n=X неколлинеарны, то O’¹ X, то есть O’Ï l. Проведем O’A и O’A’; пусть они пересекаются РС и РС’ соответственно в D и D’.
Соответствующие стороны треугольников АBD и A’B’D’ пересекаются в коллинеарных точках O,P,O’; значит, по П5*, прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников принадлежат одному пучку. Таким образом, прямая m1, содержащая D и D’, проходит через точку Y=lÇ m.
Следовательно, прямая m1 определена точками D и Y, и если точка A’ меняется, то D’ меняется, оставаясь на прямой m1. Поэтому исходное проективное отображение совпадает с отображением l = m1 = n.
Повторяя то же самое рассуждение еще раз, мы можем переместить Р в положение P’=OPÇ l и найти новую прямую m’, такую, что l = m’= n дает исходное проективное отображение.
Лемма 3: Пусть l и l’- две различные прямые. Тогда любое проективное отображение l - l’ может быть получено как композиция двух перспективных отображений.
Теорема 1: Основная теорема вытекает из аксиом П1-П6.
Доказательство: Для заданной прямой l и двух троек различных точек А,В,С и A’,B’,C’ этой прямой мы должны найти проективное преобразование, переводящее одну тройку в другую, и доказать, что оно единственно. Выбираем прямую l’, не проходящую через заданные точки, и спроектируем A’,B’,C’ на l’. Обозначим образы этих точек теми же буквами A’,B’,C’. Таким образом мы свели теорему к следующей: имеем А,В,С на l A’,B’,C’ на l’ (все точки отличны от lÇ l’) требуется показать, что $ единственное проективное отображение, такое, что ABC - A’B’C’. Одно такое проективное отображение мы уже получили в предложении 2 (п.3.7); следовательно, достаточно показать, что любое другое проективное отображение совпадает с этим.
Случай 1: Предположим, что второе проективное отображение есть просто перспективное отображение. Пусть l - l’ переводит ABC = A’B’C’. Рассмотрим P=AB’Ç A’B ; пусть прямая l’’ соединяет Р с Q. Мы утверждаем, что l’’ проходит через точку Х=lÇ l’. Действительно, применим П5 к треугольникам AB’C’ и A’BC, которые перспективны с центром О. Их стороны пересекаются в точках Р,Q,Х соответственно. Следовательно, l’’ определяется точками Р и Х.
Но так как С может меняться, перспективное отображение l = l’ совпадает с проективным отображением l = l’’ = l’
Случай 2: предположим, что второе проективное отображение не является перспективным. Тогда в силу леммы 3 оно может быть представлено в виде композиции двух перспективных отображений, а в силу леммы 2 можно предположить, что центры этих отображений принадлежат соответственно l’ и l. Таким образом, мы приходим к конфигурации: l = l’’ = l’ и ABC = A’’B’’C’’ = A’B’C’
Применяя П6 к треугольникам АBR и A’B’R’, мы получаем, что Р=АB’Ç A’BÎ l’’. Аналогично, применяя П6 к ACR и A’C’R’, мы получаем, что Q=AC’Ç A’CÎ l’’. Таким образом, l’’ есть прямая, которая была использована в предложении 2 (п.3.7) для построения второго проективного отображения
l = l’’ = l’
Пусть теперь DÎ l – произвольная точка; определим D’’=R’DÇ l’’и D’=RD’’Ç l’.
Из П6, применимой к треугольникам ADR и A’D’R’, следует, что AD’Ç A'D, A’’,D’’ коллинеарны, то есть AD’Ç A’DÎ l’’. Но это означает, что также и проективное отображение предложения 2 переводит D в D’. Следовательно, эти проективные отображений совпадают. ч.т.д.
Теорема 2: П5 следует из П6.
Доказательство: Пусть, О,A,B,C,A',B',C' удовлетворяют предложениям теоремы Дезарга (П5), построим P,Q,R. Для доказательства их коллинеарности нам придется трижды применить П6.
Шаг 1: Пусть A’C’ пересекает АВ в точке S. Затем применим П6 к прямым.
и заключим отсюда, что точки T=OSÇ BC, U=OAÇ BC’, Q коллинеарны.
Страницы: 1, 2, 3, 4
