І. Перевірка домашнього завдання
1) ;
2)
;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
2. Самостійна робота.
Варіант 1.
1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х0:
а) , х0=-1. (2 бали)
б) . (2 бали)
2. Знайдіть похідну функцій:
а) . (2 бали)
в) . 42 бали)
Варіант 2.
1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргумента х0:
Відповідь: В-1. 1. а) ; б) -1
2. а) ; б) ; в)
В-2. 1. а) ; б) 1
2. а) ; б) ; в) .
ІІ. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної
Розглянемо приклад.
Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню х значення функції у, яка задана формулою .
Для цього спочатку треба обчислити за даним значенням х значення u=, а потім за значенням u обчислити у=.
Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f - числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функції g і f, і пишуть .
Функцію g(х) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) - зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції в довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).
Приклад 2. Розглянемо функцію . Вона є складною із функцій , де - внутрішня функція, - зовнішня функція.
Приклад 3. Запишіть складні функції і , якщо
Розв'язання
Виконання вправ.
1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :
а) б)
в) г)
Відповіді: а)
б) ;
в)
г) .
2. Дано функції: . Побудуйте функції:
а) ; в) ; в) ;
г) ; в) ; є) .
Відповідь: а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) є)
У складній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:
- похідна функції у по аргументі х;
- похідна функції у по аргументі u;
- похідна функції u по аргументі х;
Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.
Доведення
Будемо вважати, що функція має похідну в точці х0, а функція має похідну в точці u0=, тобто існують границі , і .
Нехай, аргументу х0 надано приросту , тоді змінна u набуде приросту . Поскільки одержала приріст , то функція у одержить також приріст . Приріст зумовив виникнення приросту і .
Подамо . Перейдемо до границі при (при цьому ).
або .
Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3х3-1)5.
у = (3х3-1)5 - складена функція , де u =3х3-1, тоді , .
При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов'язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u5 на похідну від функції 3х3-1:
.
Приклад 2.Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) ;
в) ; г) .
а) ;
в) ;
1. знайдіть похідні функцій:
а) у = (3х+2)50; б) (6-7х)10;
2. Знайдіть похідні функцій:
ІІІ. Підведення підсумків уроку
При підведенні підсумків уроку можна скористатись таблицею.
Таблиця диференціювання
,де
IV. Домашнє завдання
Розділ VII § 4. запитання і завдання для повторення до розділу VII № 23-28. вправа № 10 (6, 10, 14, 22).
ТЕМА УРОКУ: Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій
Мета уроку: Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції(з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні похідних функцій.
1.Перевірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці.
6) ;
10) ;
11) ;
22) .
2. Виконання усних вправ.
Знайдіть похідні функцій, які подано в таблиці.
Таблиця
1
2
3
4
=
ІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції
Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=ах проходить через точку (0; 1). Нехай - величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = ах в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута приблизно дорівнює 340(рис.29), а при а = 2, =470.
у у = ех якщо основа а показникової функції у = ах зростає від 2 до 3, то величина кута зростає і приймає значення від 340 до 470. Отже, існує таке значення , при якому дотична, проведена до графіка функції у = ах в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 450 (рис.31). Таке значення прийнято позначати буквою е, е - число ірраціональне, е = 2,718281828459... 0
Таким чином, дотична до графіка функції у = ех в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 450.
У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції в точці х0 дорівнює =1. Отже, .
Знайдемо тепер формулу похідної функції .
Нехай аргумент х0 одержав приріст , тоді:
1)
3) .
Таким чином, похідна функції ех дорівнює самій функції:
Знайдемо похідну функції , скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:
Отже,
Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.
Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:
а) у = 5х; б) у = е3-2х; в) ; г) .
№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х).
ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції
Розглянемо функцію . За основною логарифмічною тотожністю: для всіх додатних х.
Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо: , або .
Звідси .
Знайдемо похідну функції . Так як , то
г)
=.
№ 2 (14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 40, 42), із підручника (розділ Х).
IV. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції , де
Ми довели, що для .
Розглянемо функцію , де .
Знайдемо похідну цієї функції:
Отже, для всіх .
ТЕМА УРОКУ: Розв'язування вправ
Мета уроку: Формування умінь учнів знаходити похідні функцій.
1 перевірити правильність виконання домашніх вправ шляхом порівняння відповідей.
№ 2. 3) -е-х; 5) ; 7) ; 9) ; 11)
13) ; 15) ; 17) .
№ 8. 1) 100х99; 3) ; 5) ; 7) -20х19; 9) ;
11) .
2. Усне розв'язування вправ.
Знайдіть похідні функцій, поданих в таблиці.
5
ІІ. Формування умінь знаходити похідні функцій
1) Виконання вправ № 10 (12; 11; 13; 17; 19) розділу VІІ підручника.
2) Виконання вправ № 2 (23; 24; 31; 34; 35; 36) розділу Х підручника.
3) Знайдіть похідну функції та обчисліть її значення, якщо .
Відповідь: 4.
4) Тіло рухається за законом .
Знайдіть швидкість точки через 2 секунди після початку руху. (Відстань вимірюється в метрах).
Відповідь: .
ІІІ. Домашнє завдання
Підготуватися до контрольної роботи. Вправи ; 10 (15; 16; 20; 25) розділу VІІ; № 2 (22; 26; 38; 42), 8 (14; 18) розділу Х.
ТЕМА УРОКУ: Тематична контрольна робота № 1
Мета уроку: Перевірити навчальні досягнення учнів з теми „Границя, неперервність та похідна функцій”.
Варіант 1
1. Знайдіть похідну функції:
в) . (2 бали)
г) . (2 бали)
2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали)
3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)
Варіант 2
Варіант 3
3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=5 с (s вимірюється в метрах). (2бали)
Варіант 4
3. обертання тіла навколо осі здійснюється за законом . Знайдіть кутову швидкість точки при t=4 с ( вимірюється в радіанах). (2бали)
Відповідь: В-1. 1. а) ; б) ;
в) ,; г) .
2. , .
3. 10
В-2 1. а) ; б) ;
3. 9
В-3. 1. а) ; б) ;
3. 35
В-4. 1. а) ; б) ;
3. 20
Страницы: 1, 2
