ТЕМА УРОКУ: Похідні елементарних функцій
МЕТА УРОКУ: формування знань учнів про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником, тригонометричних функцій.
І Перевірка домашнього завдання
1. Три учні відтворюють розв'язування вправ № 1 (1,2), 2.
1) ==
2)
Рівняння шуканої дотичної у - у0 =. Оскільки х0 = 1, у = х2, то і
Отже, у - 1 = 2 (х -1) або у = 2х - 1.
2. Фронтальна бесіда за запитаннями №№ 11 - 17 із Запитання і завдання до розділу VII.
II. Сприймання і усвідомлення знань про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником
На попередньому уроці ми довели, що похідна лінійної функції у = дорівнює , тобто .
Якщо покласти , де С - довільна постійна, то одержимо, що тобто похідна постійної функції дорівнює 0.
Якщо у формулі покласти, то одержимо
Нам уже відомо, що . А як знайти похідну функції у = х5, у = х20 тощо? Розглянемо функцію у= хn, де n - .
Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0 і надамо йому приросту , тоді:
1)
(Скориставшись формулою
3)
Звідси
Розглянемо функцію у = хn-1, де .
Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0 і надамо йому приросту , тоді
3) =
Отже, , де .
Таким чином виконується рівність: .
Виконання вправ
1. Знайдіть похідну функції:
а) у = х6; б) у = х8; в) у = х2; г) .
Відповідь: а) 6х5; б) 8х7; в) 7х6; г) 6х5.
2. Знайдіть похідні функцій:
а) у = х-10; б) у = х2; в) ; г).
Відповідь: а) -10х-11; б) -3х-4; в) -6х-7; г) -6х-7.
ІІІ. Сприймання і усвідомлення знань про похідну тригонометричних функцій
Знайдемо похідну функції у=. Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді:
.
Отже
Аналогічно можна довести, що
Знайдемо похідну функції .
Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді:
Отже,
Виконання вправ № 1 (3), 5 із підручника.
VI. Підведення підсумків уроку
Провести підведення підсумків уроку з використанням таблиці 4 похідних.
Таблиця
Таблиця похідних
V. Домашнє завдання
Розділ VІІ § 3. запитання і завдання для повторення розділу VІІ № 19 - 22. вправа №4 (2, 4).
ТЕМА УРОКУ: Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій
МЕТА УРОКУ: Вивчення теореми про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходження похідних.
І. Перевірка домашнього завдання
1. Усне розв'язування вправ.
1) Знайдіть похідні функцій
а) у - х10; б) ; в) ; г) .
Відповідь: а) 10х9; б) -9х-10; в) -4х-5;ё г) 3х2.
2) Знайдіть похідні функцій:
а) в точці ; б) в точці ;
в) в точці ; г) в точці .
Відповідь: а) 0; б) ; в) 4; г) -1.
2. Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ.
ІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції
Теорема: Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і
або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.
Доведення
Розглянемо функцію у = f(x) + g(x).
Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту . Тоді
,
Отже, .
Наслідки
а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних.
Нехай у(х) = f(x) - g(x), тоді f(x) = у(х) + g(x) і , звідси.
б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих фукцій, тобто
Приклад. Знайдіть похідну функцій
а) ;
б) ;
в) .
Розв'язання а) ;
б) .
в).
Відповідь: а) ; б) в) =.
1. Знайдіть похідні функцій:
а) у = х3 + х - х4; б) ;
в) ; г) .
Відповідь: а); б); в) ;
г) .
2. Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х0:
Відповідь: а) 1; б) ; в)-1.
3. При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорівнює 0:
а); б) ; в) .
Відповідь: а) ; б) ; в) .
ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку
Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також - диференційована функція в цій точці і , або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції
Доведення. Розглянемо функцію . Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді
Оскільки , , то
а) Постійний множник можна винести за знак похідної: .
Дійсно,.
б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:
Приклад. Знайдіть похідні функцій:
Розв'язування
б)
;
в)
Виконання вправ.
1. Знайдіть похідну функцій:
а) ; б) ;
Відповідь: а) 6х-5; б) ;
Відповідь: а) ; б) ;
3. Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) .
Відповідь: а) ; б) .
IV. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій
Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х і g(x), то функція диференційована в цій точці і .
Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.
Нехай , тоді f(x)=у(х). Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, . Виразимо з цієї формули
і підставимо замість у(х) значення , тоді будемо мати:
Приклад: Знайдіть похідні функцій
Розв'язання
а) .
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г)
Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23 - 27. вправа № 10 (1 -5, 7 - 8).
ТЕМА УРОКУ: Похідна складеної функції
Мета уроку: Формування поняття про похідну складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції.
Страницы: 1, 2
