б) f(x)= . Решение воспользуемся правилом нахождения первообразных №3 (если функция y=g(x) имеет первообразную y=G(x) ,то функция y=g(tx+m) имеет первообразную y=G(tx+m)), т.е. t= -15, m=4 , а g(x)=, следовательно
F(x)= . Ответ: F(x)= +С.
в) f(x)= . Ответ: F(x)= -2tg(р/3-x);
г) f(x)=7-3x+6x2-4x3. Ответ:F(x)=7x -1,5x2+2x3 -x4;
д) f(x)=2сos(2x-1). Ответ: F(x)= sin(2x-1).
2. Найдите неопределённый интеграл
a) Решение: воспользуемся правилами нахождения неопределённого интеграла: .
Ответ:
б) . Ответ: 8; в) . Ответ: 2х -0,25х4 -0,5х -2+С;
г) ; Ответ: -0,25(3+8х)-2 -0,5sin2x; д) . Ответ: 0,5х2 -sinx -4x -4;
3. Вычислите интегралы: a) . Решение: воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница . . Ответ: б) . Ответ: 1; в) . Ответ: 20;
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=, y=0, x=-1, x=1. Фигура ограниченная данными линиями является криволинейной трапецией и её площадь равна: Ответ: 0,4.
Блок 1 Тест самоконтроля
1. Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:
a) F(x)=3-sinx, f(x)=cosx, x(-; );
б) F(x)=5-, f(x)= - 4, x(-; );
в) F(x)=соsx-4, f(x)= - sinx, x(-; );
г) F(x)=3x+, f(x)= , x(0; )?
Ответ: нет, да, да, нет.
2. Правильно ли вычислены интегралы:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ?
Ответ: нет, да, нет, да, да.
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=0, x=0, x=.
Ответ:2.
4. Верны ли равенства:
а) ; б) ; в) ;
г) д) ;
е) ?
Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) нет; д) да; е) нет.
Блок 1 Контрольный тест Вариант 1
1. Найдите неопределённый интеграл:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) .
2. Вычислите интегралы:
а) ; б) ; в) ; г) .
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=1- x3, y=0, x=0;
б) y=sinx, y=0, x=/6, x=/3.
Блок 1 Контрольный тест Вариант 2
а) y= x4, y=1;
б) y=2sinx, y=0, x=/6, x=/3.
Блок 2 Задачи
а) . Решение: заметим, что подынтегральная функция не является функцией из таблицы в явном виде, поэтому её необходимо преобразовать: , интеграл от полученной функции легко вычисляется: . Ответ: +С.
б) . Решение: аналогично примеру под буквой а) упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем интеграл: .
Ответ: .
2. Для функции f(х)=2cosx найти первообразную, график которой проходит через точку М(-0,5;1). Решение: Найдём множество первообразных функции f(x), F(x)=2sinx+C, известно что график первообразной проходит через точку M, значит F(-0,5р)=1, но F(x)=2sinx+C, следовательно , откуда С= -1. Ответ: F(x)=2sinx -1.
3. Вычислите интеграл:
; Решение: упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем определённый интеграл: . Ответ: .
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y= (x+2)2, y=0, x=0. Решение: площадь искомой фигуры является площадью соответствующей криволинейной трапеции, которую можно вычислить с помощью определённого интеграла, нижний предел интегрирования равен -2 т.к. в точке
(-2;0) график функции пересекает прямую у=0, верхний предел интегрирования равен 0, т.к. фигура ограничена прямой х=0. .
Блок 2 Тест самоконтроля
a) F(x)=2x +cos, f(x)= 2 - sin, x(-; ); б) F(x)=, f(x)= -, x(-2;2);
в) F(x)= , f(x)= , x(0; ); г) F(x)= , f(x)= , x(0; )?
Ответ: да, да, нет, да.
2. Для функции f(х)= найдите первообразную, график которой
проходит через точку М(4;5):
а) F(х)=+3; б) F(х)=2+1; в) F(х)=2+3; г) F(х)=+5.
Ответ: б)
3.Верны ли равенства:
а) ; б); в);
г) ; д) ?
Ответ: да, да, да, нет, да.
Блок 2 Контрольный тест Вариант 1
а) ; б); в) ; г) ;
д) .
2. Графики первообразных F1 и F2 функции f(x)=3x2 -2x+4 проходят через точки М(-1;1) и N(0;3). Какова разность этих двух первообразных? Какой из графиков F1 и F2 расположен выше?
3. Вычислите интегралы:
а) ; б) ; в) .
а) y= x2 -2x+4, y=3, x=-1;
б) y=sinx, y=1/2, x=/6, x=5/6.
Блок 2 Контрольный тест Вариант 2
2. Графики первообразных F1 и F2 функции f(x)=-6x2 +4x+1 проходят через точки М(0;2) и N(1;3). Какова разность этих двух первообразных? Какой из графиков F1 и F2 расположен выше?
а) y= x3 , y=8, x=1;
б) y=cosx, y=1, x=-/3, x=/3.
Блок 3 Задачи. Покажите, что функции F1 (x)=tg2x, F2 (x)= , F3 (x)= являются первообразными функции f(x)= на интервале (-/2; /2). Найдите первообразную для функции f на интервале
(-/2; /2), график которой проходит через точку (0;10).
2. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (2;3), если угловой коэффициент касательной в точке x равен 3x2 .
3. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v(t)= sint cost. Найдите уравнение движения точки, если при t=/4 её координата равна 3.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой 2x-4x2 , линией x=-2 и касательной к данной параболе, проведённой через её точку с абсциссой x=0.
5. В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороной в её середине?
Блок 3 Тест самоконтроля
1.Приведите пример функции f и её первообразной F, заданных на R таких, что F(x)=f(/2-x).
Ответ: f(x)=cosx, F(x)=sinx.
2. Являются ли первообразными для одной и той же функции F1(x)=2соs2x, F2(x)=cos2x, F3(x)=3соs2x+ sin2x ? Если да, то укажите эту функцию.
Ответ: f(x)=-2sinx, F2(x)= F1(x)-1, F3(x)= F1(x)+1.
3. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (3;7), если угловой коэффициент касательной в точке x равен x2 .
Ответ: y=1/3x3-2 (угловой коэффициент касательной в точке x - производная в этой точке).
4. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v(t)= 2соs . Найдите уравнение движения точки, если при t=/3 её координата равна 4.
Ответ: x(t)= 4sin +2 ( x'(t)= v(t) ).
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=2,5+2x-0,5x2 , линией x=-1 и касательной к данной параболе, проведённой через её точку с абсциссой x=3.
Ответ: 10
Блок 3 Контрольный тест Вариант 1
1.Приведите пример ограниченной на интервале функции с неограниченной на этом интервале первообразной.
2.Приведите пример функции f и её первообразной F, заданных на R таких, что f(x)=2F(/2-2x).
3. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (/4 ;5), если угловой коэффициент касательной в точке x равен 6cosx .
4.Точка движется по координатной прямой с ускорением а(t)=-2t. В начальный момент t0 =1 её координата x0 =4 и скорость v0 =2. Найдите уравнение движения точки.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой x2- 4x+5 и касательными к ней, проведёнными через её точки с абсциссами x=1 и x=3.
Блок 3 Контрольный тест Вариант 2
1.Приведите пример ограниченной на R функции с ограниченной на R первообразной.
2.Приведите пример функции f и её первообразной F, заданных на R таких, что F(x)=-f(/2-x).
3. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (/4 ;-3), если угловой коэффициент касательной в точке x равен sinx .
4.Точка движется по координатной прямой с ускорением а(t)=sint. В начальный момент t0 =/2 её координата x0 =2 и скорость v0 =1. Найдите уравнение движения точки.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=8x-2x2 , линией x=0 и касательной к данной параболе, проведённой через её вершину.
Блок 4
1. Докажите следующую формулу: , где u, v -произвольные функции, dv, du - производные функций v и u.соответственно.
2. Используя выше доказанную формулу найти интеграл
3.Найдите наибольшее и наименьшее значение интеграла
Уровневая контрольная работа
1. Найдите неопределённый интеграл
а) ;
б) ;
2. Вычислите площадь фигуры ограниченной графиками функций
и
3. Вычислите определённый интеграл
б)
4. Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции , касательной к нему в точке х=1 и осью у.
5. При каком отрицательном значении параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями равна .
При составлении тестов использовались задания учебников [2, 5, 9, 11, 14].
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
