Задача 1.8.
В школе 15 учеников учатся на «5». Это составляет 5% учащихся школы. Сколько всего учащихся в школе? (Ответ: 300 учащихся)
Домашнее задание.
Задача 1.
Дан квадрат клеток построить фигуру площадь, которой составляет:
а) 4%; б) 80%; в) 120% от площади квадрата.
Задача 2.
Из молока получается 22% сливок, из сливок получается 18% масла. Сколько масла получается из 10 кг молока?
Задача 3.
В первый час работы продавец продал 40 кг яблок. Это составило 16% от первоначального количества. Сколько килограммов яблок было у продавца первоначально?
Второе занятие следует начать с проверки домашнего задания и только после этого приступать к решению новых задач.
В начале занятия можно рассмотреть задачу об увеличении величины на несколько процентов и вспомнить метод ее решения.
Задача 2.1.
Когда цену товара увеличили на 30% ,он стал стоить 52 р. Определить первоначальную стоимость товара. (Ответ: 40 р.).
После подробного обсуждения задачи 2.1. следует предложить школьникам подобную задачу для самостоятельного решения.
Задача 2.2.
Цена товара сначала выросла на 20%, а затем снизилась на 15%, после чего товар стал стоить 102 р. Какова первоначальная стоимость товара? (Ответ: 100 р.)
После рассмотрения основных задач на проценты можно вместе с учащимися вывести общие формулы решения задач.
Общие формулы:
1.
2. тогда 100%
3. А увеличить на Р%
4. А уменьшить на Р%
где А, В - некоторые величины.
Далее можно предложить решить задачу, используя выведенные формулы. Но прежде чем приступить к решению задачи, стоит спросить учащихся о том, каков, по их мнению, будет результат.
Задача 2.3.
Цену товара увеличили на 30%, затем через некоторое время уменьшили на 30%. Сравнить первоначальную и новую цену товара, если он стоил 80 р. (Ответ: первоначальная цена больше новой.)
Как правило, еще не решая задачи, ученики делают вывод, что результаты равны. Поэтому нужно обязательно включать задачи такого плана в факультативный курс, чтобы показать «коварность» процентов.
Затем можно рассмотреть задачи на растворы и сплавы. Для того, чтобы задача была более понятна, можно привести рисунок, иллюстрирующий условие. Рисунок лучше делать, обсуждая его с учащимися.
Задача 2.4.
Сколько граммов воды надо добавить к 80 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 12% -ный раствор?
Составление таких схем поможет детям разобраться в условии и быстрее составить уравнение к задаче.
Можно предложить учащимся составить другое уравнение, сравнивая массу воды, и сделать вывод о том, какое уравнение проще.
Оставшиеся задачи школьники решают самостоятельно. На доске можно только составлять рисунок и записывать уравнение.
Задача 2.5.
Сколько граммов 25% -го сахарного сиропа нужно добавить к 200 г воды, чтобы концентрация сахара в растворе была 5%.(Эта задача аналогична задаче 2.4.)
Задача 2.6.
Сколько граммов 30% -го раствора соли надо добавить к 80 г 12% -го раствора этой же соли, чтобы получить 20% -ный раствор.
Задача 2.7.
Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10% никеля, а второй 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 т стали с содержанием никеля 25%?
Для решения этой задачи лучше составить систему уравнений.
За два художественных альбома заплатили 172 р. Один альбом на 15% дороже, чем другой. Определить цену каждого альбома.
Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, концентрация сахара в котором 25%, чтобы получить сироп с концентрацией сахара 20%?
Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой - 65%, сплавляют и получают слиток массой 20 г, содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из слитков?
Задача 4.
Имеется три сосуда, в которых содержится, соответственно, 10, 30 и 5 литров растворов соляной кислоты. Процентное содержание кислоты во втором сосуде на 10% больше, чем в первом, а содержание кислоты в третьем сосуде равно 40%. Половину раствора из второго сосуда перелили в первый, а другую половину - в третий. После этого процентное содержание кислоты в первом и третьем сосудах оказалось одинаковым. Сколько процентов кислоты содержал в начале первый раствор?
§ 4. Опытное преподавание
Опытное преподавание проводилось в IX классе Богородской средней школы. Перед его проведением была изучена методическая и математическая литература, разработана методика проведения факультатива. Было проведено два занятия.
Следует отметить, что в данном классе преподавание математики ведется по учебнику под ред. С.А. Теляковского, а V - VI классе - [19], [21]. Поэтому в качестве основного источника задачного материала я взяла учебный комплект по математике под редакцией Г.В. Дорофеева.
На первом занятии было повторение понятия процента и простейших задачи типа К1, К2. Надо сказать, что при этом возникли некоторые трудности. Во-первых, дети не могли самостоятельно сформулировать определение процента, пришлось приводить примеры употребления данного понятия (например, в России на каждые 100 человек приходиться 12, имеющих высшее образование, это значит, что в России 12% населения имеет высшее образование) и самой его формулировать. Во-вторых, учащимся было трудно при решении задач-рисунков (например, дан квадрат, сколько процентов его площади заштриховано), поэтому использовались наводящие вопросы:
1. Какая часть квадрата заштрихована? (Этот вопрос вызвал особые трудности)
2. Выразите заштрихованную часть десятичной дробью. (Перевод обыкновенных дробей в десятичные без калькулятора осуществлялся довольно долго)
3. Сколько процентов квадрата заштриховано? (Перевод десятичных дробей в проценты дети проводили быстро)
Занятие построено таким образом, что сначала шло обсуждение решения задачи через наводящие вопросы, а затем подобную задачу дети решают самостоятельно. И, надо сказать, такая методика была довольно эффективна. Задачи для самостоятельного решения и домашнее задание ученики сделали без особых затруднений.
На втором занятии были разобраны задачи типа К3, К4 и выведены общие формулы нахождения процентов. В ходе занятия можно было сделать вывод о том, что эти ребята владеют техникой обобщений, так как после решения частных задач общие формулы были выведены ими без труда. Дальнейшее время занятия было посвящено задачам на концентрацию. Похожие задачи ребята изучают в химии и они, как правило, вызывают трудности. Для более эффективного усвоения вводилась схема условия. Такая схема помогает определить, что лучше взять за переменную, и составить уравнение к задаче.
На этом занятии ученики могли пользоваться калькулятором. Но оказалось, что они не умеют рационально считать на калькуляторе. Поэтому нужно было объяснять рациональные приемы счета.
Большой интерес у учеников вызвала задача 2.3(Цену товара увеличили на 30%, затем через некоторое время уменьшили на 30%. Сравнить первоначальную и новую цену товара, если он стоил 80 р.). Большинство школьников считали, что первоначальная цена товара и новая цена будут равны. Некоторые считали, что цена изменится, но не могли сказать, почему. После решения данной задачи, совместными усилиями был найден ответ на вопрос о том, почему же цена изменяется.
Проверка домашнего задания показала, что материал, изученный на этих двух занятиях, был учениками усвоен.
Таким образом, я сделала вывод, что задачи на проценты нужно рассматривать хотя бы в рамках факультативного курса для сильных учащихся. Потому что практика ЕГЭ показывает, что большинство детей не справляется с задачами такого типа.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Данное исследование проводилось с целью разработки методических рекомендаций по изучению темы «Проценты» по учебникам Г.В. Дорофеева. Я считаю, что эта цель достигнута, так как мной были разработаны общие методические рекомендации к изучению темы, методические рекомендации к проведению урока и факультатива для IX класса.
Основные задачи, которые ставились перед началом исследования, были выполнены. В работе рассмотрены особенности учебного комплекта по математике Г.В Дорофеева. Проведен анализ изложения темы «Проценты» в учебниках Г.В.Дорофеева и других учебниках, рекомендованных Министерством Образования России на 2003/2004 учебный год. По разработанным методическим рекомендациям было осуществлено опытное преподавание. Также была изучена история возникновения понятия процент и систематизированы все виды задач на проценты
Гипотеза, выдвинутая в начале работы, подтвердилась. Действительно, понятие процента, как математически тривиального стоит вводить в V - VI классах, но различные типы задач на проценты следует рассматривать и в курсе алгебры VII - IX класса. Использование символической наглядности делает усвоение понятия процента и умение решать задачи на проценты более эффективным.
Таким образом, можно сделать вывод, что теме «Проценты» следует уделять больше внимания, чем это сделано в современной школе. Не во всех школах есть возможность перейти на комплект Г.В. Дорофеева, но его можно использовать в качестве учебника для факультативного курса.
СПИСОК ЛИТЕРАРУРЫ
1. 3000 конкурсных задач по математике. - М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.
2. Арифметика: Учеб. для 5 кл. ощеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2000.
3. Арифметика: Учеб. для 6 кл. ощеобразоват. учреждений/С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2000.
4. Баранов О.О. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления//Математика в школе. - 2003. - № 5. - с. 50 - 59.
5. Для тех, кто работает по учебникам Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина//Математика. - 1999. - № 15. - с. 2-8.
6. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Суворова С.Б. Изучение процентов в основной школе//Математика в школе. - 2002. - №1 - с. 19 -24.
7. Зубарева И.И. Мордкович А.Г. Математика. 5 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений - М.: Мнемозина, 2003.
8. Зубарева И.И. Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений - М.: Мнемозина, 2002.
9. Козлова Г.М. Из опыта преподавания по учебному комплекту «Математика 5»//Математика в школе. - 2002. - № 3. - с. 49 - 52.
10. Кузнецова Л.В. и др. Методические материалы к новому учебнику для IX класса//Математика в школе. - 2000. - № 6. - с. 27-33.
11. Кузнецова Л.В. и др. Методические материалы к новому учебнику//Математика в школе. - 1997. - № 3. - с. 34 - 39.
12. Кузнецова Л.В. и др. Тематический и итоговый контроль в VII - IX классах по учебникам под редакцией Г.В. Дорофеева//Математика в школе. - 2002. - № 5. - с. 17-25.
13. Кузнецова Л.В. и др. Тематический и итоговый контроль в VII - IX классах по учебникам под редакцией Г.В. Дорофеева//Математика в школе. - 2002. - № 9. - с. 33-38.
14. Лейкина Т. Несколько замечаний по работе с учебником «Математика 7» под ред. Г.В. Дорофеева//Математика. - 1999. - № 38. - с. 23-25, 27.
15. Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. - М.: Дрофа, 1998.
16. Математика. Алгебра. Функции. 9 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 2000.
17. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 1999.
18. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 1997.
19. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк./ Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. В.И. Жохов. - М.: Просвещение, 1992.
20. Математика: Учеб. для 5 класса общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.
21. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2001.
22. Нурк Э.Р., Тельгмаа А. Э. Математика. 5 кл.: Учеб. для общеобразоват. Учеб. заведений. - М.: Дрофа, 1999.
23. Нурк Э.Р., Тельгмаа А. Э. Математика.: Учеб. для 6 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1991.
24. Первые уроки по учебному комплекту «Математика 5-8» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина//Математика. - 1999. - № 27. - с. 9-14.
25. Поляков С. Зачем нужна математика тем, кому она не нужна? // Школьное обозрение. - 2002. - №4. - с. 41 - 43.
26. Практикум по методике преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. пед. ин-тов/ Т.В. Автономова, С.Б. Верченко, В.А. Гусев и др.; Под ред. В.И.Мишина.- М.: Просвещение, 1993.
27. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. - М.: Дрофа, 2002.
28. Самойлик Г. История математики на уроках. Проценты// Математика. - 2002 - № 36 - с. 3.
29. Суворова С.Б., Кузнецова Л.В., Минаев С.С. Методические материалы к новому учебнику//Математика в школе. - 1998. - № 4. - с. 28 - 37.
30. Шевкин А.В. Еще раз об изучении процентов//Математика в школе. - 1993. - №1. - с.20 - 22.
31. Шевкин А.В. От реформы до реформы…Попытка обзора школьных учебников по математике // Школьное обозрение. - 2002. - №4. - с. 33 -40.
32. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ Сост. А.П. Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова: Под общ. ред. О.Г. Хинн - М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ»», 1999.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
