Главная:
Рефераты
Главная
Метрология
Менеджмент
Международное право
Медицина физкультура здравоохранение
ИГП
Земельное право
Журналистика
Жилищное право
Экология и охрана природы
Транспорт
Религия и мифология
Педагогика
Маркетинг реклама и торговля
История и исторические личности
Бухгалтерский учет и аудит
Геополитика
Ботаника и сельское хозяйство
Архитектура
Новейшая история политология
Программирование базы данных
Наука и техника
Математика и физика
История политичиских учений
Законодательство и право
География и геология
Банковское право
Медицинский справочник
Карта сайта
Рефераты. Графические работы на уроках стереометрии в средней школе
2.10. Даны три попарно скрещивающиеся прямые
а
,
b
и
с
. Всегда ли существует плоскость: а) параллельная каждой из этих прямых (рис. 32а); б) пересекающая каждую из них (рис. 32б)? Ответ обоснуйте и выполните соответствующий рисунок.
Решение: а) Плоскость, параллельная каждой из скрещивающихся прямых существует, если данные прямые лежат в параллельных плоскостях.
б) Плоскость, пересекающая каждую из скрещивающихся прямых, существует, если существует прямая, принадлежащая этой плоскости, которая пересекает каждую из данных прямых.
64
2.11. Дан куб
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Пусть
Р
1
, Р
2
, Р
3
, Р
4
, Р
5
, Р
6
, Р
7
, Р
8
- середины ребер соответственно
АВ, ВВ
1
, В
1
А
1,
А
1
А,
CD
, СС
1
, С
1
D
1
,
DD
1
. Каково взаимное положение таких прямых и плоскостей, как: а)
Р
3
Р
4
и
Р
1
Р
2
Р
6
(рис. 33а); б)
Р
7
Р
8
и
Р
1
Р
2
Р
6
(рис. 33б); в)
Р
4
Р
7
и
Р
1
Р
2
Р
5
(рис. 33в); г)
Р
1
Р
6
и
АВ
1
D
(рис. 33г); д)
АС
и
Р
3
Р
4
Р
5
(рис. 33д); е)
BD
и
Р
3
Р
4
Р
5
(рис. 33е)?
64
Решение: а)
Р
3
Р
4
|| (
Р
1
Р
2
Р
6
) (признак параллельности прямой и плоскости);
б)
Р
7
Р
8
|| (
Р
1
Р
2
Р
6
) (признак параллельности прямой и плоскости);
в)
Р
4
Р
7
(
Р
1
Р
2
Р
5
) (при параллельном проектировании
Р
4
Р
7
на вектор
прямая пересечет плоскость
Р
1
Р
2
Р
5
);
г)
Р
1
Р
6
|| (
АВ
1
D
) (дополним плоскость
АВ
1
D
до плоскости
АВ
1
С
1
D
; при параллельном проектировании
Р
1
Р
6
на вектор
прямая будет лежать в плоскости
АВ
1
С
1
D
, следовательно, в этой плоскости существует прямая, параллельная
Р
1
Р
6
);
д)
АС
|| (
Р
3
Р
4
Р
5
) (дополним плоскость
Р
3
Р
4
Р
5
до
Р
3
Р
4
Р
6
Р
5
; при параллельном проектировании
АС
на вектор
прямая перейдет в диагональ параллелограмма
Р
3
Р
4
Р
6
Р
5
, следовательно, в этой плоскости существует прямая, параллельная
АС
);
е)
BD
Р
3
Р
4
Р
5
(при параллельном проектировании
BD
на вектор
прямая пересечет плоскость
Р
3
Р
4
Р
5
).
64
Дан параллелепипед
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
,
P
и
Q
- внутренние точки граней соответственно
ABCD
и
A
1
B
1
C
1
D
1
. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки
P
и
Q
и параллельной прямой
СС
1
(рис. 34).
Решение: Проведем прямые
P
Р
1
и
QQ
1
, параллельные
СС
1
. Они задают плоскость, параллельную
СС
1
и проходящую через точки
P
и
Q
.
2.13. Дан куб
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
; точка
Р
- середина ребра
АА
1
. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки
Р
и
D
1
параллельно диагонали
АС
грани
ABCD
куба (рис. 35). Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 10.
Решение:
АС
1
|| (
РВ
1
D
1
) (в этом можно убедиться, применив свойство диагоналей в параллелограмме
A
1
B
1
C
1
D
1
и теорему Фалеса к треугольнику
АА
1
С
1
). По теореме Пифагора: . По формуле Герона: .
2.14. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости (рис. 36).
Решение: Пусть прямые
а
и
b
скрещиваются. Выберем на прямой
а
произвольно точку
А
и проведем прямую
с
, параллельную
b
(через точку, не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной). Прямые
а
и
с
задают плоскость в. По признаку параллельности прямой и плоскости:
b
|| в. Аналогично, проведем прямую
d
в плоскости б.
б || в (если две пересекающиеся прямые плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны).
3.06. Постройте сечение пятиугольной пирамиды
PABCDE
плоскостью б, которая проходит через внутреннюю точку
М
основания
ABCDE
параллельно грани
Р
AB
(рис. 37).
Решение: Так как прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны, а плоскость б параллельна грани
РАВ
, то: а) прямая пересечения плоскости б с плоскостью основания пирамиды должна быть параллельна
АВ
; б) прямая пересечения б с плоскостью грани
РВС
- параллельна
АР
; в) прямая пересечения б с плоскостью
РА
D
- параллельна
РА
, поэтому проводим: 1) через точку
М
прямую
KF
||
AB
; 2)
FH
||
PA
; 3)
KR
||
PB
; 4)
ML
||
AP
. Пятиугольник
HLRKF
- искомое сечение. В доказательстве используется признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей.
3.07. Точки
А
,
В
и
С
лежат в плоскости б и не лежат на одной прямой. Равные и параллельные отрезки
АА
1
,
ВВ
1
и
СС
1
расположены по одну сторону от плоскости б. Докажите, что (
А
1
В
1
С
1
) || (
АВС
) (рис. 38).
Решение:
ВВ
1
С
1
С
- параллелограмм (из параллельности и равенства
ВВ
1
и
СС
1
), следовательно
ВС
||
В
1
С
1
.
АВ
||
А
1
В
1
(аналогично). По теореме о параллельности плоскостей (по двум пересекающимся прямым): (
А
1
В
1
С
1
) || (
АВС
).
3.08. Точка
В
не лежит в плоскости Д
AEC
, точки
М
,
К
и
Р
- середины отрезков соответственно
АВ
,
ВС
и
ВЕ
(рис.39). а) Докажите, что плоскости
МКР
и
АЕС
параллельны. б) Найдите площадь Д
МКР
, если площадь Д
AEC
равна 48 см2.
Решение: а)Заметим, что Д
AEC
и не лежащая в нем точка
В
образуют тетраэдр
ВАСЕ
.
МК
||
АС
(
МК
- средняя линия Д
AВC
).
КР
||
СЕ
(
КР
- средняя линия Д
ВCЕ
). По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (
МКР
)||(
АСЕ
).
б) По формуле Герона:
, как средние линии соответствующих треугольников. Подставим данные значения в формулу: . Отсюда .
3.09. Три отрезка
А
1
А
2
,
В
1
В
2
и
С
1
С
2
, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости
А
1
В
1
С
1
и
А
2
В
2
С
2
параллельны (рис. 40).
Решение: Каждые две пересекающиеся прямые задают плоскость (через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну). Так как точка пересечения делит прямые пополам, то по теореме Фалеса:
А
1
В
1
||
В
2
А
2
. Аналогично доказывается параллельность
С
1
В
1
и
С
2
В
2
,
А
1
В
1
и
А
2
В
2
. По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (
А
1
В
1
С
1
)||(
А
2
В
2
С
2
).
64
3.10. Прямая
DF
пересекает параллельные плоскости б, в и г соответственно в точках
D
,
Е
и
F
, при этом
DF
= 3,
Е
F
= 9 (рис. 41). Прямая
EG
пересекает плоскости б и г соответственно в точках
G
и
Н
, при этом
EG
= 12. Найдите длину
G
Н
.
Решение: Прямые
EF
и
Е
H
задают плоскость
EFH
, которая пересекает плоскости б и г по прямым
GD
и
FH
соответственно. ?
GED
~?
HEF
(так как
GD
||
FH
, ). По свойству преобразования подобия: . Тогда .
3.11. Плоскости б и в пересекаются по прямой
с
(рис. 42). Через точки
А
и
В
, расположенные вне этих плоскостей, проводятся параллельно плоскости в и параллельные между собой прямые
АС
и
BD
(), а также - параллельно плоскости б и параллельные между собой прямые
АЕ
и
BF
(). Докажите: а) плоскости
АСЕ
и
BDF
параллельны; б) плоскости
АСЕ
и
BDF
пересекают плоскости б и в по параллельным прямым.
64
Решение: а)
G
А
||
DB
,
АЕ
||
F
В
по условию. По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (
АСЕ
) || (
DBF
).
б)
BF
и
АЕ
задают плоскость, параллельную плоскости б. По свойству параллельных плоскостей:
EF
||
с
. Аналогично
CD
||
c
. По признаку параллельности прямых:
CD
||
EF
.
5.3. Уроки проверки знаний, умений и навыков
Для проверки знаний, умений и навыков разработаны три задачи на выявление типов оперирования пространственными образами: изменение пространственного положения образа (I тип); преобразование структуры образа (II тип); изменение положения и структуры образа одновременно (III тип).
I
вариант
1. Через вершины параллелограмма
ABCD
, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках
А
1
,
В
1
,
С
1
и
D
1
. Докажите, что четырехугольник
А
1
В
1
С
1
D
1
тоже параллелограмм (рис. 43).
64
Решение:
АА
1
=
DD
1
=
СС
1
=
ВВ
1
(отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны). Попарно параллельные прямые задают параллелограммы (задание плоскости через параллельные прямые), следовательно
D
1
А
1
||
D
А
||
СВ
||
С
1
В
1
. По определению
А
1
В
1
С
1
D
1
параллелограмм.
2. Докажите, что через любую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой (модификация задачи 2.14).
3. Даны две параллельные плоскости, точка вне этих плоскостей и окружность в одной из этих плоскостей (рис. 44). Через каждую точку
Х
окружности и данную точку проводится прямая, пересекающая вторую плоскость в некоторой точке
Х
1
. Что представляет собой геометрическое место точек
Х
1
?
Решение: Заметим, что при данном преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз (рассмотрение двух пересекающихся прямых и обобщение на множество прямых, обладающих данным свойством). Данный факт и указанный способ преобразования дает основание считать, что геометрическим местом точек
Х
1
является окружность, гомотетичная данной, с коэффициентом гомотетии .
II
вариант
1. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку
А
, пересекает плоскость б в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную б и не проходящую через
А
, тоже в вершинах параллелограмма (рис. 45).
Решение: Используется метод, подобный задаче 1 I варианта. Указание: Две пересекающиеся прямые задают плоскость - параллелограмм, в котором они являются диагоналями.
2. Точки
А
,
В
,
С
и
D
не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков
АВ
и
ВС
, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков
AD
и
CD
(пример 9).
3. Даны две параллельные плоскости, пересекающая их прямая и окружность в одной из плоскостей (рис. 46). Через каждую точку
Х
окружности проводится прямая, параллельная данной прямой и пересекающая вторую плоскость в некоторой точке
Х
1
. Что представляет собой геометрическое место точек
Х
1
?
Решение: Аналогично задаче 3 I варианта, но с применением подобия фигур.
Заключение
Дидактические материалы разрабатывались в соответствии с показателями, характеризующими пространственное мышление. По своему содержанию:
§ Обеспечивали выявление не только конечного результата выполнения задания, но и процесса его достижения; при этом были довольно краткими, не требовали для своего решения больших временных затрат;
§ Составлялись на различном графическом материале и предполагали в основном оперирование формой, величиной изображаемых объектов, их пространственным положением.
Использование этого материала позволяет наиболее адекватно характеризовать пространственное мышление по интересующим показателям и вместе с тем сделать эти задания учебными по содержанию. Задания включают все основные типы оперирования, описанные в работе, и составляют определенный ряд, восходящий от простых преобразований с опорой на восприятие ко все более сложным, осуществляемым в уме, что определяло и порядок их предъявления. При этом учитывался характер графической основы, степень ее обобщенности, условности.
Приведенные в курсовой работе материалы показывают, что графические работы в стереометрии играют большую роль в формировании пространственного (образного) мышления учащихся, как компонента сложного интеллектуального образования.
В работе раскрывается содержание, структура и функции пространственного мышления, формируемого на графической основе; описываются дидактические условия составления заданий на выявление наличных возможностей учащихся в создании геометрических образов, их коррекции и развитии в нужном направлении.
Считаю, что поставленные цели и задаче в работе достигнуты.
Библиографический список
1. Бакин, Р. А. Методика формирования пространственного образа при помощи компьютерной анимации [Текст]: диплом / Р. А. Бакин. - Киров: 2005.
2. Геометрия [Текст]: учеб. для 10 - 11 кл. сред. шк. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. - 2-ое изд. - М.: Просвещение, 1993. - 207 с.: ил.
3. Геометрия. 10 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват. Учреждений с углубл. И профильным изучением математики / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. - М.: Дрофа, 2003. - 224 с.: ил.
4. Геометрия. 10 кл. [Текст]: задачник для общеобразоват. Учреждений с углубл. И профильным изучением математики / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. - М.: Дрофа, 2003. - 256 с.: ил.
5. Зеленина, Н. А. Заключительный этап решения геометрических задач в основной школе [Текст]: диссертация на соискание ученой степени кандидата пед. наук / Н. А. Зеленина. - Киров: 2004. - 158 с.
6. Повышение эффективности обучения математике в школе [Текст]: кн. Для учителя: из опыта работы / Г. Д, Глейзер. - М.: Просвещение, 1989. - 240 с.
7. Погорелов, А. В. Геометрия [Текст]: учеб. для 7 - 11 кл. сред. шк. / А. В. Погорелов. - 2-ое изд. - М.: Просвещение, 1991. - 384 с.: ил.
8. Фридман, Л. М. Наглядность и моделирование в обучения [Текст]: кн. для учителя / Л. М. Фридман. - М.: Знание, 1984. - 80 с.: ил.
9. Якиманская, И.С. Психологические основы математического образования [Текст]: учебное пособие / И.С. Якиманская. - М.: Издательский центр «Академия», 2004. - 320 с.
Страницы:
1
,
2
,
3
, 4
Апрель (48)
Март (20)
Февраль (988)
Январь (720)
Январь (21)
2012 © Все права защищены
При использовании материалов активная
ссылка на источник
обязательна.