1.02. Сделайте чертеж: Плоскость б пересекает три параллельные прямые a, b и c соответственно в точках А, В и С, принадлежащих одной прямой (рис. 12).

1.03. Сделайте чертеж: Плоскость б пересекает три параллельные прямые a, b и c соответственно в вершинах ?АВС (рис. 13).

64

1.04. Нарисуйте куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 14). 1) Выделите в нем ребро ВВ1 и назовите все ребра куба: а) параллельные ему; б) пересекающие его; в) скрещивающиеся с ним. 2) Выделите диагональ AD1 грани ADA1D1 куба и назовите диагонали граней: а) параллельные AD1; б) пересекающие ее; в) скрещивающиеся с ней. Ответ обоснуйте.

2.01. Сделайте чертеж: Плоскость б проходит через середины сторон АВ и АС треугольника АВС и не содержит вершины А (рис. 15).

2.02. Сделайте чертеж: Прямая MP параллельна плоскости б, а плоскость РМТ пересекает эту плоскость по прямой КТ (рис. 16).

64

2.03. Сделайте чертеж: Прямая а параллельна каждой из параллельных плоскостей б и в (рис. 17).

2.04. Известно, что прямая m параллельна плоскости б. Параллельна ли эта прямая любой прямой, лежащей в этой плоскости б (рис. 18)? Ответ обоснуйте.

Решение: Пусть прямая а принадлежит плоскости б. Выберем на прямой m произвольно точку М и проведем через нее и прямую а плоскость в (аксиома задания плоскости). Прямые m и а не пересекаются (по условию), тогда они либо параллельны (), либо скрещиваются (). Следовательно, прямыми, параллельными прямой m, будут только те, с помощью которых можно задать плоскость (при участии m).

64

2.06. Даны две скрещивающиеся прямые а и b (рис. 19). Через каждую точку прямой а проводится прямая, параллельная прямой b. Докажите, что все такие прямые лежат в одной плоскости. Как расположена эта плоскость по отношению к прямой b? Ответ обоснуйте.

Решение: Пусть m || b , , тогда m и а задают плоскость б. Возьмем в плоскости б прямую с || b. По признаку параллельности прямых: с || m, тогда они задают некоторую плоскость в. По условию , значит, они тоже задают плоскость, которая совпадает с б. Следовательно, все прямые, параллельные b и пересекающие а лежат в плоскости, которая в свою очередь параллельна b (по признаку параллельности прямой и плоскости).

2.07. В тетраэдре ABCD точки K, F, N и M - середины ребер соответственно AD, BD, BC и AC (рис. 20). Заполните таблицу, выбрав (обведя в кружок) определенное вами расположение указанных прямой и плоскости: А - пересекаются, Б - параллельны, В - прямая лежит в плоскости, Г - невозможно определить:

64

3.01. Сделайте чертеж: Плоскости б и в имеют общую прямую а, плоскости б и г - общую прямую b, а плоскости в и г - общую прямую с. Прямые а и b параллельны (рис. 21).

3.02. Сделайте чертеж: Плоскости б и в имеют общую прямую а, плоскости б и г - общую прямую b, а плоскости в и г параллельны (рис. 22).

64

3.03. Сделайте чертеж: Сторона ВС треугольника АВС лежит на плоскости б. Через вершину А и точку М - середину стороны АС - проведены соответственно плоскости в и г, пересекающие плоскость ?АВС по прямым АК и МТ (рис. 23).

3.04. В тетраэдре РАВС проведено сечение А1В1Р1, параллельное грани АВР. Определите взаимное расположение медиан РЕ и Р1Е1 треугольников соответственно АВР и А1В1Р1 (рис. 24).

Решение: Рассмотреть 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве: параллельность, пересечение, скрещивание. Итог: РЕ || Р1Е1.

64

3.05. Постройте сечение треугольной пирамиды РАВС плоскостью, которая проходит через внутреннюю точку К основания АВС и параллельна грани РАВ (рис.25).

Решение: Плоскость сечения проходит через точку К, пересекает грани АРС, СРВ и АВС пирамиды и параллельна АРВ. Следовательно, прямые пересечения с гранями параллельны соответствующим ребрам грани АРВ. Построение следует начать с нижнего основания через известную точку К. Далее через полученные точки пересечения с ребрами АС и ВС провести параллельные прямые АР и ВР соответственно.

5.2. Уроки применения знаний, умений и навыков

1.05. Докажите, что середины ребер АР, СР, ВС и АВ тетраэдра РАВС лежат в одной плоскости. Определите вид фигуры, вершинами которой служат эти точки (модификация задачи, приведенной в пункте 4.2.3).

1.06. Треугольник АВС лежит в плоскости б. Через его вершины проведены параллельные прямые, не лежащие в плоскости б. На них отложены равные отрезки АА1, ВВ1 и СС1 по одну сторону от б. Докажите, что ?АВС и ?А1В1С1 равны (рис. 26).

Решение: Используется: способ задания плоскости через параллельные прямые (попарное рассмотрение заданных параллельных прямых); определение параллелограмма (достаточно равенства и параллельности одной пары противолежащих сторон (по условию)); условие равенства треугольников по трем сторонам.

1.07. Прямая АВ пересекает плоскость б. Через концы отрезка АВ и его середину С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость б в точках А1, В1 и С1. Рассмотрите случаи: 1) отрезок АВ не пересекает плоскость б (рис. 27а); 2) отрезок АВ пересекает б (рис. 27б). В каждом случае найдите: а) длину отрезка СС1, если: АА1 = 7, ВВ1 = 5; б) длину отрезка АА1, если ВВ1 = 7, СС1= 11.

64

Решение: а) Точки А, В и С лежат на одной прямой (из пересечения параллельных прямых с прямой АВ и плоскостью б). В1С1 = С1А1 (по теореме Фалеса). СС1 - средняя линия трапеции АА1ВВ1.

1.

2.

б) Сделаем выносной рисунок пересечения АВ и А1В1 и проведем через точку В прямую, параллельную прямой А1В1 (рис. 27в).

A1L = 5 (т.к. BL || A1B1)

CL1 - средняя линия в ?АLВ

1.

2.

1.08. Через вершины А, В, С и D параллелограмма ABCD, расположенного в одном полупространстве относительно плоскости б, точку О пересечения его диагоналей и центроид М треугольника BCD проведены параллельные прямые, которые пересекают данную плоскость б соответственно в точках А1, В1, С1, D1, О1, М1. Найдите ММ1, ОО1 и DD1, если АА1 = 17, СС1 = 5, ВВ1 = 15 (рис. 28).

Решение: В задаче используется выделение фигуры из состава чертежа, чертеж рассматривается с разных точек.

АСС1А1 - трапеция (параллельные прямые АА1 и ВВ1 задают плоскость). ОО1 - средняя линия трапеции: .

BDD1B1 - трапеция: .

ОСС1О1 - трапеция.

ОМ = ОС (свойство пересечения медиан треугольника), О1М1 = О1С1 (аналогично). Следовательно, .

1.09. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 29).

Решение: ML || DB, NK || DB (как средние линии треугольников ADB и CDB соответственно), ML = NK. NMLK - параллелограмм (параллельные прямые задают плоскость). Из свойства диагоналей треугольника следует, что отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер тетраэдра пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Доказательства для ОР аналогично.

64

2.08. В правильном тетраэдре DABC, все ребра которого равны 6, точка К лежит на ребре BD так, что DК = 2; точка М лежит на ребре ВС так, что ВМ = 4; точка Р - середина ребра АВ. а) Докажите, что КМ параллельна плоскости ADC. б) Докажите, что РМ не параллельна плоскости ADC. в) Проведите через точку Р прямую, параллельную плоскости ADC и пересекающую ребро DB в точке L. Найдите длину LK. г) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки Р и К параллельно АС (рис.30).

Решение: а) По теореме Фалеса: DC ||КМ. По признаку параллельности прямой и плоскости: (АDC) ||КМ.

б) РМ не параллельна АС (СМ?АР), следовательно, они пересекаются, так как лежат в одной плоскости. Тогда, РМ не параллельна плоскости ADC.

в) По теореме Фалеса: DL = 3. Тогда, LK = 1.

г) (PKS) - искомое сечение, где PS - средняя линия треугольника АВС.

2.09. Основанием правильной четырехугольной пирамиды PABCD является параллелограмм ABCD. Постройте ее сечение плоскостью, проходящей через АВ и точку К, лежащую в грани: а) ВСР (рис. 31а); б) DCP (рис. 31б). Какая фигура получается в сечении?

В обоих случаях - равнобокая трапеция.

64

Страницы: 1, 2, 3, 4