В отечественной экономике накоплен некоторый опыт применения физических моделей в экономике, изложенный в монографиях Голубенцева1, Разумихина2 и Кучина3. Однако счастливой судьбу этих книг не назовешь, поскольку ссылок на них в экономической литературе почти нет. Тем не менее, исследования в этом направлении продолжаются.

3.2. Пример разработки и использования в практике управленческого консультирования междисциплинарных (физика&экономика) моделей

_______________________________________________________________________________________________________

1 Голубенцев А.Н. Термодинамика процесса производства. – Киев: Технiка, 1969. – 160 с.

2 Разумихин Б.С. Физические модели и методы теории равновесия в программировании и экономике. – М.: Наука, 1975. – 304 с.

3 Кучин Б.Л., Седых А.Д., Овчаров А.А. Научно-техническое прогнозирование развития систем газоснабжения. – М.: Недра, 1987. – 256 с. 

Осциллятор Ван-дер-Поля1

Мы получили заказ на анализ и прогноз экономического состояния фирмы “Омский бекон” (далее будем называть ее просто фирмой). Были использованы данные годовых бухгалтерских отчетов за 15 лет, приведенные к сопоставимым значениям. Анализ временных рядов с помощью метода Бокса-Дженкинса и моделирование с помощью модифицированной производственной функции Кобба-Дугласа позволили выявить некоторые закономерности развития фирмы, но мы продолжали поиск характеристических кривых на графиках взаимозависимости одних показателей от других. И наконец, поиск увенчался успехом – в результате визуального анализа на одном из графиков появились признаки нестандартного поведения экономической системы. Это оказался график зависимости производительности труда от фондовооруженности. Это было вдвойне интересно, поскольку эта зависимость довольно подробно исследована в отечественной науке.

Как учит классика, эта зависимость описывается монотонной функцией и соответствующей S-образной кривой, но в нашем случае кривая вела себя нестандартно. Я показал ее физику-теоретику, попросив поискать аналогию. Надо отдать должное физику (впоследствии ставшему моим соавтором) – он не изумился настырности экономиста, а погрузился в задачу и вскоре выдал первую гипотезу: осциллятор Ван-дер-Поля со смещением точки подвеса. Забегая вперед, скажу, что ценность найденной зависимости в том, что в классическую модель зависимости производительности труда от фондовооруженности была введена обратная связь, интерпретация которой выявила дополнительную зависимость, заметно обогащающую классическую модель.

Однако самое время рассмотреть зависимость производительности

__________________________________________________________________

1 Крючков В.Н. Физические модели в управленческом консультировании: междисциплинарный и трансдисциплинарный подходы.//Менеджмент в России и за рубежом. - №3. – 2002.[#"1.files/image004.gif">

Например, в данном случае речь идет о зависимостях производительности труда и фондовооруженности от времени. Поэтому представляется интересным расставить все точки (Рис. 1а) в хронологическом порядке (заметим, что на Рис. 1б тоже есть упорядоченность по времени, но не для отдельных точек, а для совокупностей точек, лежащих близко друг к другу).

Как видно на Рис. 2а, получается ломаная линия с петлями. Сгладим ее немного (сохраняя при этом характерные черты). На кривую, изображенную на рис. 2б, уже приятно смотреть. Посмотрим на нее. Сразу видно, что отклонения от магистрального направления располагаются не случайно, а образуют петли.

Те, кто знакомы с теорией колебаний (хотя бы издалека видели хоть одну книгу) без труда узнают в этих петлях фазовый портрет осциллятора1 (его часто рисуют на обложках), причем, скорее всего, не простого осциллятора, изображенного на Рис. 3а, а осциллятора, совершающего автоколебания2. Причем, положение равновесия, около которого происходит колебание, - перемещается: сначала оно находилось в точке A, потом в результате какого-то воздействия (по-видимому, - внешнего) переехало в точку C. И переезд был не простой – сначала резкий скачок f, а потом (вызванное, по-видимому, этим скачком) изменение p.

_____________________________________________________________________________________

1 Тело, совершающее колебательное движение, называют осциллятором. Состояние осциллятора в каждый момент времени определяется двумя величинами – координатой x и скоростью v и изображается точкой на фазовой плоскости – плоскости переменных  x и v. Кривая, составленная из точек, соответствующих состояниям осциллятора за какой-то промежуток времени, называется фазовым портретом данного осциллятора. Например, на Рис. 3а изображен фазовый портрет осциллятора с затуханием (затухание может быть вызвано,  например, трением) - спираль, закручивающаяся к положению равновесия.

2 Автоколебания – это незатухающие колебания; их энергия постоянно восполняется из внешнего источника; вид и свойства этих колебаний зависят от параметров самого осциллятора, но не от начальных условий. Фазовый портрет автоколебаний - предельный цикл (Рис. 3б) - замкнутая фазовая кривая, к которой стремятся все соседние кривые. Предельный цикл обладает важным свойством структурной устойчивости – его нельзя “разрушить” внешним воздействием. Для изменения или уничтожения предельного цикла надо изменить параметры осциллятора.

Теперь легко представить себе механическую систему, динамика которой похожа на динамику нашей фирмы. Это – осциллятор, совершающий автоколебания, причем положение равновесия осциллятора может изменяться под внешним воздействием. Осциллятор изобразим как грузик на пружинке (причем пружинка не простая, а “волшебная” – в противном случае получатся не автоколебания, а затухающие колебания). Пружинку прикрепим к опоре, которая неподвижна при малых колебаниях, но может сдвигаться с места при достаточно сильном воздействии на нее. Например, в качестве такой опоры подойдет ящик с опилками, стоящий на шероховатой поверхности. Все, “машина” готова (см. Рис. 4):

Рис. 4

Посмотрим, как она работает, и каким ситуациям в жизни фирмы соответствуют элементы ее поведения: