Постановка задачи:
Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.
Порядок решения задачи:
Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.
пункт i
А
Б
В
Д
1
4
yi
0
¥
28
13
17
8,32
9
16,64
Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.
Затем пересчитываем величины yi используя правило:
Если yj + lij < yi , то величина yi = yj + lij , в противном случае yi оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.
yA + l4A=0+9=9 < y4=¥ Þ y4=9
yA + lBA=0+13=13 < yB=¥ Þ yB=13
yA + l1A=0+8,32=8,32 < y1=¥ Þ y1=8,32
Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.
y4 + lB4=9+7=16 > yB=13
y4 + lД4=9+8=17 < уД=¥ Þ yД=17
yВ + lДВ=13+12=25 > yД=17
yВ + lБВ=13+15=28 < уБ=¥ Þ yБ=28
yВ + l1В=13+9=22 > у1=8,32
y1 + lВ1=8,32+10=18,32 > yВ=13
y1 + lБ1=8,32+8,32=16,64 < уБ=28 Þ yБ=16,64
yД + l4Д=8,32+17=25,32 > y4=9
yД + lВД=17+12,32=29,32 > yВ=13
yБ + lВБ=16,64+15,32=31 > yВ=13
yБ + l1Б=16,64+8=24,64 > y1=8,32
Теперь проверим условие lij ³ yi - yj для всех дуг сети.
l4A = у4 - уА 9=9-0
l4Д > у4 – уД 8,32> 9-17
lД4 = уД – у4 8=17-9
lДВ > уД – уВ 12> 17-13
lBA = yB - yA 13=13-0
lBД > yB – yД 12,32> 13-17
lBБ > yB – yБ 15,32> 13-16,64
lB4 > yB – y4 7> 13-9
lB1 > yB – y1 10> 13-8,32
lБВ > уБ - уВ 15> 16,64-13
lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32
l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0
l1В > у1 – уВ 9> 8,32-13
l1Б > у1 – уБ 8> 8,32-16,64
Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:
lij = yi - yj
Таковыми являются:
Кратчайшие расстояния до пункта А равны:
пункт
расстояние до А
Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.
Г
---
16
13,32
17,64
15
21
15,32
12,32
21,64
12
16,32
Математическая модель задачи коммивояжера:
Найти минимальное значение целевой функции z
при следующих ограничениях:
из каждого города i нужно уехать только один раз
в каждый город j нужно приехать только один раз:
переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,
1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j
0 - в противном случае
решение есть простой цикл
Решение задачи:
Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д
Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.
В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:
А – Б – Г – Д – В – А
min z = 16+21+16+12+13 = 78
В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:
B1 = 50.000 т
B2 = 60.000 т
B3 = 45.000 т
B4 = 70.000 т
Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.
Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.
Затраты на приготовление аб, руб
мощность АБЗ
Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд
т/час
тыс. т/год
2
3
10
18
484
489
495
481
25
45
423
428
435
420
50
90
405
410
416
401
Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб
Пункт размещения
Зона-потребитель
28,3
60,3
45,3
90,3
61,3
30,3
93,3
48,3
50,3
95,3
33,3
62,3
99,3
54,3
65,3
36,3
Математическая модель транспортной задачи:
Ограничения:
весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.
спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен
xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю
Транспортная таблица:
Мощность АБЗ
Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год
B1=50
B2=60
B3=45
B4=70
Bф=135
Ui
Ki
433,3
440,3 < 465,3
449,3 < 450,3
437,3 < 495,3
X1=90
40
5/9
433,3 < 471,3
440,3
449,3 < 503,3
437,3 < 458,3
X2=90
60
30
6/9
433,3 < 466,3
440,3 < 511,3
449,3
437,3 < 478,3
X3=90
Ѕ
433,3 < 500,3
440,3 < 455,3
449,3 < 466,3
437,3
X4=90
70
20
7/9
Vj
Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:
Вф=S аi - S bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год
В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сpi + E*Kpi + Cij
С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij.
Проверяем план на вырожденность:
m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательно план является невырожденным.
Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (Ui + Vj = Сpi + E*Kpi + Cij).
Проверяем план на оптимальность:
число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1
Страницы: 1, 2