СВ-ВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ:
1.Коммутативность:
Для любых а и b:а+b=b+a
замечание:отсюда следует,что сумму векторов а и b можно строить
как диагональ параллелограмма,построенных на векторах а и b,
причем начало всех трех векторов совмещены.
2.Ассоциативность:
Для любых а,b и с:(а+b)+с=а+(b+с)
замечание:отсюда следует,что чтобы сложить векторы а ,а ,...,а
нужно сложить из них ломанную,совмещая начало последущего вектора
с концом предыдущего,тогда их сумма -замыкающая.
3.Существует вектор,называемый нуль-вектор,такой что для всех а:
а+0=а.
4.Для любого а сущ.вектор,называемый противоположным,обознач.-а,
такой что а+(-а)=0
5.Для всех а:1*а=а
6.Для любого а и любых чисел и :( * )*а= ( а)= ( а)
7.Для любого а и любых чисел и :( + )*а= а+ а
8.Для любых а и b и любого числа : *(а+b)= а+ b
Разностью векторов а и b называется вектор (а+(-b))
Если даны векторы а ,а ,...,а и числа , ,..., ,то вектор
а + а +...+ а -называется линейной комбинацией векторов
а ,а ,...,а с коэффициентами , ,..., .
Множество,для элементов которого определены операции (сложения
и умножения на число),для которых справедливы выше восемь св-в
(аксиом) называется линейным пространством.
§2.Понятие линейной зависимости,размерности,базиса и координации.
Система векторов а ,а ,...,а называется линейно зависимой,если
хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация
остальных векторов этой системы.
ИЛИ
Для того,чтобы система векторов а ,а ,...,а была линейно зависи-
мой необходимо и достаточно,чтобы существовали числа , ,..., ,
не равные 0,такие что линейная комбинация а + а +...+ а
равнялась нуль-вектору.
Система векторов называется линейно не зависимой,если она не яв-
ляется линейно зависимой,т.е. ни один вектор этой системы не яв-
ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком-
бинации векторов этой системы возможно только в том случае,когда
все коэффициенты равны 0.
Размерностью линейного пространства называется максимальное число
линейно не зависимых векторов.
Базисом называется линейно независимая система векторов,такая,
при которой любой вектор,принадлежащий этому пространству,может
быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.
Теорема единственности:
Если задан базис е ,е ,е ,то разложение любого вектора а по этому
базису единственно:
а= е + е + е
Если дан базис е ,е ,е ,то коэффициенты разложения вектора по
этому базису называются координатами.
а=( , , )
замечание:у одного и того же вектора в разных базисах разные
координаты.
Условие коллинеарности:
/ = / = /
замечание:если в одной из дробей в знаменателе 0,то равенство
нужно понимать так,что в числителе тоже 0.
Каноническое ур-е прямой:
x x /m=y-y /p=z-z /q
§3.ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ,СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
СВ-ВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР.ПРОИЗВЕДЕНИЯ.ПРИЛОЖЕНИЕ.
Углом между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший
угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в
направлениях этих векторов.
Численной проекцией вектора а на вектор b (b=0) называется число
равное произведению модуля а на cos угла между ними.
Пр а=¦а¦*cos a,b
Св-ва: Пр (а+b)=Пр а+Пр b
Пр (ka)=kПр а
Проекцией вектора на ось называется длина отрезка АВ между
основаниями перпендикуляров,опущенных из точек А и В на ось.
Радиус-вектором точки пространства называется вектор,идущий в эту
точку из некоторой фиксированной точки,наз. полюсом.
Скалярным произведением а и b называется число равное произведению
длин этих векторов на cos угла между ними.
CВ-ВА:
1.условие перпендикулярности векторов: (а,b)=0 <=> а_b
2.коммутативность: (а,b)=(b,а)
3.билинейность:
3.1: (а +а ;b)=(а ,b)+(а ,b)
(а,b +b )=(а,b )+(а,b )
3.2: ( а,b)=(а, b)= (а,b)
Правило:Скалярное произведение векторов равно сумме произведений
соответствующих координат.
(а,b)=x x +y y +z z
Приложения:
1.¦а¦= (а,а) = x +y +z ,если а=(x,y,z)
2.(а,b)=0<=>а_b
3.cos а,b=(а,b)/¦а¦¦b¦
4.Пр а=(а,b)/¦b¦
Направляющими косинусами углов называются cos углов,которые
вектор образует с векторами базиса i,j,k.
cos =x/¦a¦
cos =y/¦a¦
cos =z/¦a¦
cos +cos +cos =1,т.к. (x +y +z )/¦a¦=1.
§4.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВ-ВА.
Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк и n столбцов.
Квадратной матрицей n-порядка называется матрица,у которой
число строк равно числу столбцов и равно n.
Каждой кв.матрице ставится в соответствие число называемое
определителем матрицы.
Определителем кв.матрицы n-порядка называется число равное
алгебраической сумме всевозможных произведений n-элементов
матрицы,взятых по одному из каждой строки и каждого столбца,
причем перед каждым произведением по определенному правилу
ставится знак "+" или "-".
Алгебраической суммой называется сумма,в которой где-то
ставится "+",а где-то "-".
Элементы матрицы,у которых No строки совпадает с No столбца
образуют главную диагональ матрицы.
Операция замены строк матрицы ее столбцами с соответствующими
номерами называется транспортированием,а получившаяся матрица-
транспортированной.
СВ-ВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ:
1.При транспортировании матрицы ее определитель не меняется.
2.Если в матрице поменять местами две строки (столбца),то ее
определитель умножится на -1.
3.Определитель матрицы равен сумме произведений элементов
какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
4.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы
умножить на число k, то ее определитель умножится на k.
5.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы
представляют собой сумму двух слагаемых,то определитель матрицы
равен сумме двух определителей.У первого на месте этой строки
стоят первые слагаемые,а у второго -вторые,а все остальные строки
у всех трех определителей одинаковы.
6.Определитель матрицы не изменится,если к одной ее строке
(столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).
7.Если элементы одной строки умножить на соответствующие
алгебраические дополнения другой строки и сложить,то получится 0.
8.Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой-
нибудь строки равна определителю,у которого на месте этой строки
стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации,а остальные
строки совпадают со строками данного определителя.
Минором,соответствующим элементу матрицы а ,называется определитель
матрицы,которая получится,если в данной матрице вычеркнуть строку
и столбец,в которых стоит а .
Алгебраическим дополнением элемента а называется число равное
А =М *(-1)
Достаточные признаки
равенства нулю
определителя:
1.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы равно
нулю,то определитель равен 0.
2.Если в матрице есть две одинаковые строки (столбца),то ее
определитель равен 0.
3.Если матрица содержит две строки,соответствующие элементы
которой пропорциональны,то ее определитель равен 0.
Необходимое и достаточное
условие равенства нулю
Для того чтобы определитель матрицы был равен 0,необходимо и
достаточно,чтобы ее строки (столбцы) были линейно зависимы.
§5.ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.
Тройка некомпланарных векторов a,b,c,начало которых совмещены,
называется правой,если кратчайший поворот от вектора а к вектору
b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с.В
противном случае тройка называется левой.
СВ-ВА ориентированных троек векторв:
1.Если a,b,c -правая,то тройки b,c,a и c,a,b будут тоже правыми.
Такая перестановка называется циклической перестановкой.Т.е. при
цикл.перестановке ориентация тройки не меняется.
2.Если a,b,c -правая,то тройки b,a.c и a,c,b -левые.Т.е.,если
поменять местами какие-нибудь два вектора,то ориентация тройки
изменится.
Векторным произведением a и b называется вектор с,такой что:
1.если а и b коллинеарны (দb),то их векторное произведение
с=[a,b]=0.
2.если а и b не коллинеарны,то с=[a,b] перпендикулярен а и _ b,
т.е.[a,b] _ пл-ти векторов а и b и [a,b] направлен в такую
сторону,что тройка векторов a,b,[a,b] -правая.Длина векторного
произведения равна ¦[a,b]¦=¦а¦¦b¦sin ab=S параллелограмма,
построенного на векторах а и b.
СВ-ВО векторного произведения:
1.[a,b]=0 <=>a¦¦b.
2.Антикоммутативность:
[a,b]=[b,a],но [a,b]=-[b,a].
3.Билинейность:
3.1:[a +a ,b]=[a ,b]+[a ,b]
[a,b +b ]=[a,b ]+[a,b ].
3.2:[ a,b]=[a, b]= [a,b].
¦i j k¦
[a,b]=¦x y z¦
¦x y z¦
Нормальный вектор -это вектор перпендикулярный пл-ти.
Ax+By+Cz+D=0 => n=(A,B,C)
Углом между двумя пл-тями называется угол между их нормальными
векторами.
Углом между прямой и пл-тью называется угол между прямой и ее
проекцией на пл-ть,sin этого угла равен cos ,где -угол между
направляющим вектором прямой и нормальным вектором пл-ти.
Смешанным произведением векторов a ,b ,c называется число,равное
скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на
вектор с.
([a,b],c)
Геометрический смысл
смешанного произведения:
1.Если векторы a,b,c компланарны,то их смешанное произведение
равно 0.
2.Если векторы a,b,c не компланарны,то модуль смешанного произведе-
ния равен объему параллелепипеда,построенного на этих векторах,
причем смешанное произведение положительно,если тройка a,b,c -пра-
вая, и отрицательно,если тройка векторв -левая.
СВ-ВА смешанного
произведения:
1.([a,b],c)=(a,[b,c])
([a,b],c) -смешанное произведение a,b,c.
(a,[b,c]) -смешанное произведение b,c,a.
Эти смешанные произведения равны,т.к. параллелипипед один и тот же
и ориентации троек одинаковы (при циклической перестановки ориента-
ция троек не меняется).
Это св-во показывает,что квадратные скобки можно не ставить:
(a,b,c)=([a,b],c)
2.(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a)
3.Для того,чтобы a,b,c были компланарными <=> (a,b,c)=0
4.Для того,чтобы a,b,c были линейно зависимыми <=> (a,b,c)=0
5.Трилинейность:
5.1: (a+b,c,d)=(a,c,d)+(b,c,d)
5.2: ( a,b,c)=(a, b,c)=(a,b, c)= (a,b,c)
Вычисление смешанного
a=(x ,y ,z )
b=(x ,y ,z )
c=(x ,y ,z )
([a,b],c)=¦x y z¦
§6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.
Прямая на пл-ти -частный случай прямой в пространстве.
У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора.
Угловым коэффициентом прямой, не парал-ной оси y называ-
ется число k, равное tg угла, на который нужно повернуть
против часовой стрелки положительную часть оси х, чтобы
она стала парал-ной данной прямой.
tg =(k -k )/1+k k
Для перпендикулярных прямых: 1+k k=0
Для параллельных прямых:k =k
ГЛАВА#2:ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.
§1 ПОНЯТИЯ ДИФФ. Ф-ЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА.
Ф-ция f(х) называется дифференцируемой в т.Хо, если ее
приращения f(х + х)-f(х ) можно представить в виде
Q(х ) х+о( х),где о( х) -б.м., не зависящая от х, Q( х)
-б.м. более высокого порядка, чем х.
Q(х )=lim (f(х + х)-f(х ))/ х
Этот предел называется производной ф-цией в точке и обозначается
f'(х ).
Производной ф-цией f(х) в т.Хо называется предел отноше-
ния приращения ф-ции к приращению аргумента х, когда
х0.
(х )'= х
(a )'=a lna, ((e )'=e )
(log x)'=1/xlna, ((lnx)'=1/x)
sin'x=cosx
cos'x=-sinx
tg'x=1/cos x
ctg'x=-1/sin x
arcsin'x=1/ 1-x
arccos'x=-1/ 1-x
arctg'x=1/1+x
arcctg'x=-1/1+x
sh'x=chx (shx=e -e /2)
ch'x=shx (chx=e +e /2)
th'x=1/ch x (thx=shx/chx)
cth'x=-1/sh x (cthx=chx/shx)
f(x + x)-f(x )=f'(x ) x+o( x),
слагаемое f'(x ) x -линейно зависит от х, и если
f'(х)=0, то это слагаемое б.м. одного порядка с х.
Поэтому это слагаемое является главным в этой сумме и оно
называется дифференциалом ф-ции в т.Хо.
Дифференциалом дифференцируемой ф-ции в т.Хо называется
главная часть приращения, линейно зависящая от х.
df=f'(x ) x
Асимтотическое представление:
f(x + x)=f(x )+f'(x ) x+o( x)
f(x + x)=f(x )+df
§2 ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
1. Если ф-ция f(x) тождественна const, то ее производная
тождественна 0.
(C)'=0
2. Если ф-ция u(x) и v(x) дифф. в т.Хо, то:
1) их линейная комбинация дифф. в этой точке и
( u+ v)'= u'+ v'
2) их произведение дифф. в т.Хо и (uv)'=u'v+uv'
(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'
3) если кроме того v(x )=0, то отношение
(u/v)'=u'v-uv'/v
3. Правило дифф. сложной ф-ции.
f(u) дифф. в т.Uo, u(x) дифф. в т.Хо, u(x )=u =>
f(u(x)) -дифф. в т.Хо и (f(u(x)))'=f'(u ) u'(x )
Страницы: 1, 2
