ГЛАВА#1.МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
§1 ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ,БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО,ПРЕДЕЛА,
НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.
ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал,содержащий
эту точку.
ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т.Хо называется окрестность т.Хо,
из которой выброшена сама точка.
ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу-
бесконечный промежуток вида (а;+ ).
ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу-
бесконечный промежуток вида (- ;b).
ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух
любых окрестностей + и - .
Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности
т.Хо,если для любого числа >0 существует проколотая
окр. т.Хо такая,что для любого числа Х,принадлежащего
прокол.окр.т.Хо выполняется неравенство ¦f(х)¦< .
>0 U U => ¦f(x)¦<
Число А называется пределом ф-ции f(х) в т.Хо,если
в некоторой прок.окр. этой точки ф-цию f(х) можно
представить в виде f(х)=А+ (х),где (х)-бесконечно
малое в окрестности т.Хо.
limf(x)=А
Ф-ция f(х) называется непрерывной в т.Хо,если в некоторой
окр.т.Хо эту ф-цию можно представить в виде:f(х)=f(х )+ (х),
где (х)-б.м. в окр.т.Хо.
Иными словами,f(х)-непрерывна в т.Хо,если она в этой точке
имеет предел и он равен значению ф-ции.
ТЕОРЕМА:Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке
области определения.
Схема:1.ф-я элементарна
2. определена
3. непрерывна
4. предел равен значению ф-ции
5. значение ф-ции равно 0
6. можно представить в виде б.м.
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:
Теорема#1:Единственная константа,явл-ся б.м.-0
Теорема#2:Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо,то их
сумма тоже б.м. в этой окр.
Ф-ция f(х) называется ограниченной в окр.т.Хо,если сущ.
проколотая окр.т.Хо и сущ. число М>0,такие что ¦f(х)¦<М
в каждой точке прок.окр.т.Хо.
U M>0: ¦f(x)¦<M x U
Теорема#3:Если (х) -б.м. в окр.т.Хо,то она ограничена
в этой окр.
Теорема#4:О произведении б.м. на ограниченную:
Если ф-ция (х) -б.м.,а f(х) -ограниченная в окр.т.Хо,то
(х)*f(х) -б.м. в окр.т.Хо.
Теорема#5:О промежуточной б.м.:
Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо и (х)< (х)< (х)
в окр.т.Хо U ,то (х) -б.м. в окр.т.Хо.
Две б.м. называются сравнимыми,если существует предел их
отношения.
Б.м. (х) и (х) в окр.т.Хо называются одного порядка,
если предел их отношений есть число не равное 0.
Две б.м. в окр.т.Хо называются эквивалентными,если
предел их отношения равен 1.
Теорема#1:Если и -эквивалентные б.м.,то их разность
есть б.м. более высокого порядка,чем и чем .
Теорема#2:Если разность двух б.м. есть б.м. более высокого
порядка,чем и чем ,то и есть эквивалентные б.м.
Таблица основных эквивалентов б.м.:
Х0
sinх х
е-1 х
ln(1+х) х
(1+х) -1 х
Асимптотические представления:
sinx=x+0(x)
e =1+x+0(x)
ln(1+x)=х+0(x)
(1+x) =1+ x+0(x)
Св-во экв.б.м.:
Если (х) и (х) -экв.б.м. в окр.т.Хо,а (х) и (х) -экв.б.м.
в окр.т.Хо и сущ. lim =А,то тогда сущ. lim и он равен А.
§2 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.
Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо и lim =0,то (х)
называется бесконечно малой более высокого порядка,чем
(х). (х)=о( (х)).
Замечание:Если (х)-более высокого порядка,чем (х),
то (х)=о(k (х)),k=0
Теорема БЕЗУ:Если -корень многочлена,то многночлен
делится без остатка на (х- ).
§3 ОСНОВНЫЕ СВ-ВА Ф-ЦИЙ,ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ.
ЛЕММА об оценке ф-ции,имеющей предел отличный от нуля:
Если предел ф-ции f(х) в т.Хо равен А и А>0,то
А/2<f(х)<3А/2 в некоторой проколотой окр.т.Хо.
Замечание:Если предел А<0,то 3А/2<f(х)<А/2.
ТЕОРЕМА#1.Необходимое условие ограничиности ф-ции,
имеющей предел:
Если ф-ция f(х) имеет в точке предел,то она ограничена
в окрестности этой точки.
ТЕОРЕМА#2.Арифметические операции над ф-циями,
имеющих предел.
Если f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:
lim f(х)=А
lim f(х)=B,то
тогда 1.сущ.предел их суммы и он равен сумме пределов.
2.сущ.предел их произведения и он равен
произведению пределов.
3.если В=0,то сущ.предел отношения и он равен
отношению пределов.
ТЕОРЕМЫ,СВЯЗАННЫЕ С НЕРАВЕНСТВАМИ:
Т.1:Если ф-ция f(х),имеющая предел в т.Хо,больше 0,
то f(х)>0 в прокол.окр.т.Хо.
Наоборот,если f(х),имеющая предел в т.Хо,меньше 0,
то f(х)<0 в прокол.окр.т.Хо.
Т.2:Если ф-ция f(х) имеет предел в т.Хо и f(х)>0 в
некоторой прокол.окр.т.Хо,то и предел f(х)>0 в т.Хо.
Т.3:Если ф-ции f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:
lim f(х)=В и
f(х)<f(х) в некоторой прокол.окр.т.Хо,то и
пределы А<В.
Т.4 о пределе промежуточной ф-ции:
Если ф-ции f(х) и f(х) имеют один и тот же предел
А в т.Хо и ф-ция f(х)<f(х)<f(х) в некоторой прокол.
окр.т.Хо,то тогда сущ.предел f(х) и он равен А.
ТЕОРЕМА о переходе к пределу под знаком непрерывной
ф-ции:
Если ф-ция f(u) непрерывна в т.Uо,а ф-ция u= (х) имеет
предел в т.Хо,и предел ф-ции (х) равен Uо,то тогда
сложная ф-ция f[ (х)] имеет предел в т.Хо и этот предел
равен f(Uо),т.е. предел f[ (х)] равен значению ф-ции
от предела .f[ (х)]=flim (х).
§4 О ПРЕДЕЛАХ СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e.
ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ называется ф-ция,область
определения которой -натуральные числа.
Формула НЬЮТОНА-бинома:
(a+b)= с a b
c=n!/k!(n-k)!
c -кол-во сочетаний из n по k.
n!=1*2*3*...*n
СОЧЕТАНИЯМИ называются всевозможные подмножества данного
множества,в частности рассматривают сочетания множества
из n-элементов по k-элементов.
Замечание: 0!=1
Таблица биномиальных коэффициентов:
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
lim(1+x) =e
§5 БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ Ф-ЦИИ.ПОВЕДЕНИЕ Ф-ЦИИ В
БЕСКОНЕЧНОСТИ.АСИМТОТЫ.
Ф-ция f(х) называется бесконечно большой в окр.т.Хо,если
1/f(х) будет б.м.
Асимтоты:
Прямая Т называется асимтотой кривой L,если растояние от
т.М,лежащей на кривой L,до прямой Т стремится к 0,когда
т.М по кривой удаляется в бесконечность,т.е. когда
растояние от т.М до фиксированной т.О стремится в беско-
нечность.
Асимтоты графиков ф-ции:
Теорема#1:Для того,чтобы прямая kx+b была асимтотой при
х+ ,необходимо и достаточно,чтобы f(х)=kx+b+ (х) при
х+ .
Теорема#2:Для того,чтобы прямая y=kx+b была ас-той гр-ка
ф-ции f(х) при х+ ,необходимо и достаточно существование
предела при х+ f(х)/х=k и сущ.предела при х+
[f(х)-kx]=b,т.е.,если хотя бы один из пределов не сущ.,то
ас-ты нет.
Исследование поведения ф-ции в окр.точки
разрыва.Классификация точек разрыва:
0:ТОЧКА УСТРАНИМОГО РАЗРЫВА-точка, в которой ф-ция имеет
предел,но не является непрерывной.
1:ТОЧКА РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА-точка,в которой ф-ция имеет
предел слева,имеет предел справа, но эти пределы не равны.
2:ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДА-точка,которая не является
точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода.
§6 ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА НЕПРЕРЫВНЫХ Ф-ЦИЙ.
ЛОКАЛЬНЫЕ СВ-ВА-св-ва ф-ции непрерывных в данной точке,
т.к. непрер.ф-ция имеет предел,то все св-ва таких ф-ций,
имеющих предел,распространяются на непрерывные.
Свойства:если f(х) непрер.в т.Хо и f(Хо)>0,то ф-я больше
нуля в некоторой окр.т.Хо или;если f(х) и f(х) непрер.
в т.Хо,то их сумма тоже непрер.в этой точке.
ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА:
Ф-ция f(х) называется непрерывной на отр.[a;b],если она
непрерыв.в каждой точке интервала (a;b) и непрерывна в
т.А справа и в т.В слева.
lim f(x)=f(a),lim f(x)=f(b)
ТЕОРЕМЫ КОШИ:
Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b] и на концах
отрезка принимает значения разных знаков (f(а)*f(b)<0),
то сущ.точка С на отр.[a;b],такая что f(С)=0.
Теорема#2:Если ф-ция непр. на отр.[a;b] и на концах отр.
принимает разные значения (f(a)=f(b)),то тогда для любого
числа Q,лежащего между f(а) и f(b),сущ.т.С,принадлеж.отр.
[a;b],такая что f(С)=Q.
ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА:
Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b],то сущ.
числа m<f(x)<M в каждой точке этого отрезка (т.е.ф-я
ограничена)
Теорема#2:Если ф-ция f(х) непр.на отр.[a;b],то сущ.
точки x и x [a;b],такие что f(x )<f(x)<f(x ) в каждой
точке этого отрезка.
ГЛАВА#2:ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
§1.ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ И СВ-ВА.
Отрезок AB называется направленным,если указана,какая из
точек A и B явл.началом,а какая концом.
Два направленных отрезка называются равными,если они лежат
на одной или на параллельных прямых,со-направлены и имеют
одинаковые длины,т.е.если один получается из другого парал.
переносом.
Вектором называется направленный отрезок.
Векторы называются коллинеарными,если они лежат на одной прямой
или на парал. прямых.
Векторы называются компланарными,если они лежат в одной или
парал. пл-тях.
Суммой векторов a и b называется вектор,обозначенный a+b,начало
которого совпадает с началом вектора a,а конец -с концом b,
при условии,что начало вектора b совмещено с концом а.
Произведением а на число называется вектор,обозначенный
а,такой что:
1.¦ a¦=¦ ¦*¦a¦
a=0,если =0
2. দа
দа,если >0
দа,если <0
Страницы: 1, 2
