Далее показывается применение данной формулы.

2) Расстояние между двумя точками.

Нахождение данной формулы опирается на использование предыдущей. Пусть имеются точки М1(х1,у1)и М2(х2,у2), необходимо найти расстояние между этими точками. Рассмотрим вектор М1М2. Его координаты равны . Находим длину вектора по его координатам: , а расстояние между М1 и М2 это длина вектора . После выведения данной формулы можно записать формулу и показать, что они эквивалентны.

Ш Закрепление: для закрепления используется ряд задач на применение данных формул.

1. Найдите длины векторов: а) ; b) [2: № 938]

2. Найдите медиану АМ треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А(0,1), В(1, -4), С(5,2). [2: № 942]

3. Вершина А параллелограмма ОАСВ лежит на положительной полуоси Ох, вершина В имеет координаты (b, c), а ОА=а. Найдите а)координаты вершины С; b)сторону АС и диагональ СО. [2: № 944].

Ш Домашнее задание № 939, 941 [2]

2 занятие: «Простейшие задачи в координатах». (урок - закрепление)

Общеобразовательная цель урока: показать, как «простейшие задачи» используются при решении более сложных и проверить усвоение знаний, полученных на прошлом уроке.

Содержание урока:

Ш В начале урока был проведен устный счет для проверки усвоения материала, разобранного на прошлом уроке.

Устный счет: записать координаты

?Середины отрезка ?Координаты вектора

· Длины вектора

· Расстояние между точками М и N.

Ш Решение задач.

1. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если А(0,1), В(1,-4), С(5,2).

2. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если N(6,1), P(7,4), Q(2,4), М(1,1). [2: № 950(а)]

Ш Самостоятельная работа.

Ш Домашнее задание №945, 948(а)

II. Факультатив.

Для проведения факультатива предлагается ряд более сложных нестандартных задач, при решении которых используется метод координат.

Задача 1. Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 р. на 1 км, а для предприятия В 20 р. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть расположен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными.

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Систему координат выберем так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу через точку А. Пусть Р произвольная точка, s1 и s2 расстояния от точки до предприятий А и В (рис.17). Тогда А(0, 0), В(300, 0), Р(х, у).

При доставке груза из пункта А расходы равны m+10s1. При доставке груза из пункта В расходы равны m+20s2. Если для пункта Р выгоднее доставлять груз с предприятия А, то m+10s1< m+20s2, откуда s1<2s2, в обратном случае получим s1>2s2.

Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению

s1=2s2 (1)

Выразим s1 и 2s2 через координаты:

, .

Имея в виду (1), получим .

Это и есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, - из пункта А.

Задача 2. На плоскости даны точки А и В; найти геометрическое место точек М, удаленных от А в двое больше, чем от В.

Решение:

Выберем систему координат на плоскости так, чтобы начало координат попало в точку А, а положительная полуось абсцисс пошла по АВ. За единицу масштаба возьмем отрезок АВ. Точка А будет иметь координаты (0,0), точка В координаты (1,0). Координаты точки М обозначим через (х,у). Условие записывается в координатах так:

.

Мы получили уравнение искомого геометрического места точек. Чтобы понять, какое множество описывается этим уравнением, мы преобразуем его так, чтобы оно приняло знакомый нам вид. Возведя обе засти в квадрат, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем равенство: Зх2-8х+4+Зу2=0.

Это равенство можно переписать так:

или так: . Это уравнение окружности с центром в точке (,0) и радиусом, равным . Это значит, что наше геометрическое место точек является окружностью.

Задача 3.Дан треугольник ABC; найти центр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Примем точку А за начало координат, ось абсцисс направим от А к В. Тогда точка В будет иметь координаты (с,0), где с - длинна отрезка АВ. Пусть точка С имеет координаты (q,h), а центр искомой окружности - (а,b). Радиус этой окружности обозначим через R. Запишем в координатах принадлежность точек А(0,0), В(с,0) и C(q,h) искомой окружности:

a2+b2=R2,

(c-a)2+b2=R2,

(q-a)2+(h-b)2=R2.

Каждое из этих условий выражает тот факт, что расстояние точек А(0,0), В(с,0), C(q,h) от центра окружности (а,b) равно радиусу. Эти условия легко получить, если записать уравнение искомой окружности (окружности с центром (а,b) и радиусом R), т. е. (x-a)2+(y-b)2=R2, а затем в это уравнение вместо х и у подставить координаты точек А, В и С, лежащих на этой окружности. Эта система трех уравнений с тремя неизвестными легко решается, и мы получаем:

, ,

.

Задача решена, так как мы нашли координаты центра и радиус. Причем следует заметить, что мы при решении задачи не прибегали к построению чертежа.

Домашнее задание:

1. Лестница, стоящая на гладком полу у стены соскальзывает вниз. По какой линии движется котенок, сидящий на середине лестницы?

2. В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний любой точки окружности до сторон квадрата постоянна.

Краткий анализ проведенных занятий: Учащиеся на уроках активно принимали участие, особенно на первом при выводе формул, так как материал не сложный и использует факты и понятия, которые были изучены не так давно и повторены на устном счете. Также на 1 уроке удалось прорешать все запланированные задачи на закрепление, особую трудность вызвала задача № 3, в которой учащиеся долго не могли сделать чертеж и путались в формулах нахождения длины и координат вектора. Проведенная на следующем уроке самостоятельная работа показала, что практически все ученики усвоили материал (с работой не справились 2 человека из 26 учеников этого класса). Наибольшее количество ошибок было сделано в задаче № 2, при использовании формулы нахождения расстояния между 2 точками. Таким образом, можно предположить, что тема «Простейшие задачи в координатах» была успешно усвоена большинством учеников данного класса.

Заключение

Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.

В данной дипломной работе:

o проанализировано несколько действующих школьных учебников относительно темы «Метод координат»;

o описан сам метод координат, виды и этапы решения задач методом координат;

o выделены основные умения, необходимые для овладения данным методом и приведен ряд задач, формирующих их.

Также было проведено опытное преподавание, которое подтвердило гипотезу о том, что изучение метода координат в школьном курсе геометрии необходимо. Оно будет более эффективно, если в 5-6 классе проведена пропедевтическая работа по формированию основных умений и навыков, в системном курсе планиметрии учащиеся знакомятся со структурой данного метода, и используется продуманная система задач для формирования отдельных компонентов метода.

Библиографический список

1. Автономова, Т. В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя [Текст]/ Б. И. Аргунов - М. Просвещение, 1988г. - 127с.

2. Атанасян, Л. С. Геометрия для 7-9 классов средней школы [Текст] / В. Ф. Бутузов, С. Д. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина - М. Просвещение, 1992г.- 335с.

3. Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. [Текст]/ А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд.- М. Просвещение, 1989г. - 304с.

4. Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд. - М. Мнемозина, 2001г. - 304с.

5. Гельфанд, И. М. Метод координат [Текст]- М. Наука, 1973г. -87с.

6. Дорофеев, Г. В. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова - М. Просвещение, 2000г. - 368с.

7. Дорофеев, Г. В. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова - М. Дрофа, 1998г. - 416с.

8. Изучение координат в III - IV кл. / Л. Г. Петерсон // Математика в школе - 1983г.- №4

9. Индивидуальные карточки по геометрии для 7-9 кл. / Т. М. Мищенко // Математика в школе - 2001г. - № 8

10. Итоги работы в 7 кл. по учебнику Шарыгина И. Ф. 7-9 / О.В. Бощенко // Математика в школе - 2002г. №5

11. К изучению перемещений на координатной плоскости / Г.Б. Лудина // Математика в школе - 1983г.- №2

12. К началу обучения геометрии 1-7 кл. // Математика в школе 1983г. - №6

13. Лускина М. Г. Факультативные занятия по математике в школе: Методические рекомендации [Текст]/ В. И. Зубарева - Киров ВГПУ, 1995г.

14. Лященко, Е. И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов [Текст] / К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко - М. Просвещение, 1988г. - 233с.

15. Метод координат / А. Савин // Квант -1977г. - №9

16. Мишин, В. И. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. [Текст] / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев - М. Просвещение 1987г. - 416с.

17. Никольская, И. Л. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. ср. шк. [Текст] - М. Просвещение, 1991г. - 383с.

18. Новые компьютерные технологии. Координатная плоскость // Математика - Приложение к газ. «Первое сентября» - 2004г. №29

19. Нужна ли школе XXI века геометрия /И. Шарыгин // Математика - Приложение к газ. «1 сентября» - 2004г. №12

20. О конкретном учебнике геометрии для 7-9 кл. / Л.С. Атанасян // Математика в школе - 1989г. - №1

21. Обсуждение одного учебника / И.Е Феоктистов // Математика в школе -2001г. №5

22. Погорелов, А. В. Геометрия для 7-11 классов средней школы - М: Просвещение, 1990г. - 384с.

23. Понтрягин, Л. С. Знакомство с высшей математикой. Метод координат [Текст] - М. Наука, 1987г. - 128с.

24. Программа по математике для средней школы - М. Просвещение, 1998г. -205с.

25. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике [Текст] - М. Просвещение, 1995г. - 240с.

26. Сикорский, К. П. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов [Текст] - М. Просвещение, 1974г.- 315с.

27. Упражнения по теме «Координатная плоскость» / О.А. Леонова // Математика в школе - 2001г. - №10

28. Шарыгин, И. Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб для общеоразоват. учеб. заведений [Текст] - М. Дрофа, 2000г. -368с.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5