[pic]
(5.13) где [pic] максимальные собственные числа матриц В и С. Условие неотрицательности матриц В и С легко выполняется выбором неотрицательных элементов [pic] матрицы Х оценок объектов экспертами. Условие неразложимости матриц В и С практически выполняется, поскольку, если эти матрицы разложимы, то это означает, что эксперты и объекты распадаются на независимые группы. При этом каждая группа экспертов оценивает только объекты своей группы. Естественно, что получать групповую оценку в этом случае нет смысла. Таким образом, условия неотрицательности и неразложимости матриц В и С, а следовательно, и условия сходимости процедур (5.4), (5.5), (5.6) в практических условиях выполняются. Следует заметить, что практическое вычисление векторов групповой оценки объектов и коэффициентов компетентности проще выполнять по рекуррентным формулам (5.4), (5.5), (5.6). Определение предельных значений этих векторов по уравнению (5.13) требует применения вычислительной техники. Рассмотрим теперь случай, когда эксперты производят оценку множества объектов методом ранжирования так, что величины [pic] есть ранги. Обработка результатов ранжирования заключается в построении обобщенной ранжировки. Для построения такой ранжировки введем конечномерное дискретное пространство ранжировок и метрику в этом пространстве. Каждая ранжировка множества объектов j-м экспертом есть точка [pic] в пространстве ранжировок. Ранжировку [pic] можно представить в виде матрицы парных сравнений, элементы которой определим следующим образом [12]: [pic] Очевидно, что [pic], поскольку каждый объект эквивалентен самому себе. Элементы матрицы [pic] антисимметричны [pic]. Если все ранжируемые объекты эквивалентны, то все элементы матрицы парных сравнений равны нулю. Такую матрицу будем обозначать [pic] и считать, что точка в пространстве ранжировок, соответствующая матрице [pic], является началом отсчета. Обращение порядка ранжируемых объектов приводит к транспонированию матрицы парных сравнений. Метрика [pic] как расстояние между i-й и j-й ранжировками определяется единственным образом формулой [12] [pic] если выполнены следующие 6 аксиом [12]:
1. [pic] причем равенство достигается, если ранжировки [pic] и [pic] тождественны;
2. [pic]
3. [pic] причем равенство достигается, если ранжировка «лежит между» ранжировками [pic] и [pic]. Понятие «лежит между» означает, что суждение о некоторой паре [pic] объектов в ранжировке совпадает с суждением об этой паре либо в [pic], либо в [pic] или же в [pic] [pic] в [pic] [pic] а в [pic] [pic] 4. [pic] где [pic] получается из [pic] некоторой перестановкой объектов, а [pic] из [pic] той же самой перестановкой. Эта аксиома утверждает независимость расстояния от перенумерации объектов. 5. Если две ранжировки [pic], [pic] одинаковы всюду, за исключением n- элементного множества элементов, являющегося одновременно сегментом обеих ранжировок, то [pic] можно вычислить, как если бы рассматривалась ранжировка только этих n-объектов. Сегментом ранжировки называется множество, дополнение которого непусто и все элементы этого дополнения находятся либо впереди, либо позади каждою элемента сегмента. Смысл этой аксиомы состоит в том, что если две ранжировки полностью согласуются в начале и конце сегмента, а отличие состоит в упорядочении средних n- объектов, то естественно принять, что расстояние между ранжировками должно равняться расстоянию, соответствующему ранжировкам средних n-объектов.
6. Минимальное расстояние равно единице. Пространство ранжировок при двух объектах можно изобразить в виде трех точек, лежащих на одной прямой. Расстояния между точками равны [pic] [pic] При трех объектах пространство всех возможных ранжировок состоит из 13 точек. Используя введенную метрику, определим обобщенную ранжировку как такую точку, которая наилучшим образом согласуется с точками, представляющими собой ранжировки экспертов. Понятие наилучшего согласования на практике чаще всего определяют как медиану и среднюю ранжировку. Медиана есть такая точка в пространстве ранжировок, сумма расстояний от которой до всех точек - ранжировок экспертов является минимальной. В соответствии с определением медиана вычисляется из условия [pic] Средняя ранжировка есть такая точка, сумма квадратов расстояний от которой до всех точек – ранжировок экспертов является минимальной. Средняя ранжировка определяется из условия [pic] Пространство ранжировок конечно и дискретно, поэтому медиана и средняя ранжировка могут быть только какими-либо точками этого пространства. В общем случае медиана и средняя ранжировка могут не совпадать ни с одной из ранжировок экспертов. Если учитывается компетентность экспертов, то медиана и средняя ранжировка определяются из условий [12]: [pic] [pic] где [pic] - коэффициенты компетентности экспертов. Если ранжировка объектов производится по нескольким показателям, то определение медианы вначале производится для каждого эксперта по всем показателям, а затем вычисляется медиана по множеству экспертов [12]: [pic] (j=1,2,…,m); [pic] где [pic] - коэффициенты весов показателей. Основным недостатком определения обобщенной ранжировки в виде медианы или средней ранжировки является трудоемкость расчетов. Естественный способ отыскания [pic] или [pic] в виде перебора всех точек пространства ранжировок неприемлем вследствие очень быстрого роста равномерности пространства при увеличении количества объектов и, следовательно, роста трудоемкости вычислений. Можно свести задачу отыскания [pic] или [pic] к специфической задаче целочисленного программирования. Однако это не очень эффективно уменьшает вычислительные трудности. Расхождение обобщенных ранжировок при различных критериях возникает при малом числе экспертов и несогласованности их оценок. Если мнения экспертов близки, то обобщенные ранжировки, построенные по критериям медианы и среднего значения, будут совпадать. Сложность вычисления медианы или средней ранжировки привела к необходимости применения более простых способов построения обобщенной ранжировки. К числу таких способов относится способ сумм рангов. Этот способ заключается в ранжировании объектов по величинам сумм рангов, полученных каждым объектом от всех экспертов. Для матрицы ранжировок [pic] составляются суммы [12] [pic] (i=1,2,…,n).
Далее объекты упорядочиваются по цепочке неравенств [pic]
Для учета компетентности экспертов достаточно умножить каждую i-ю ранжировку на коэффициент компетентности j-го эксперта [pic] В этом случае вычисление суммы рангов для i-го объекта производится по следующей формуле [12]: [pic] (i=1,2,…,n). Обобщенная ранжировка с учетом компетентности экспертов строится на основе упорядочения сумм рангов для всех объектов. Следует отметить, что построение обобщенной ранжировки по суммам рангов является корректной процедурой, если ранги назначаются как места объектов в виде натуральных чисел 1, 2, ..., n. Если назначать ранги произвольным образом, как числа в шкале порядка, то сумма рангов, вообще говоря, не сохраняет условие монотонности преобразования и, следовательно, можно получать различные обобщенные ранжировки при различных отображениях объектов на числовую систему. Нумерация мест объектов может быть произведена единственным образом с помощью натуральных чисел. Поэтому при хорошей согласованности экспертов построение обобщенной ранжировки по методу сумм рангов дает результаты, согласующиеся с результатами вычисления медианы. Еще одним более обоснованным в теоретическом отношении подходом к построению обобщенной ранжировки является переход от матрицы ранжировок к матрице парных сравнений и вычисление собственного вектора, соответствующего максимальному собственному числу этой матрицы. Упорядочение объектов производится по величине компонент собственного вектора.
3.3. Оценка согласованности мнений экспертов
При ранжировании объектов эксперты обычно расходятся во мнениях по решаемой проблеме. В связи с этим возникает необходимость количественной оценки степени согласия экспертов. Получение количественной меры согласованности мнений экспертов позволяет более обоснованно интерпретировать причины в расхождении мнений. В настоящее время известны две меры согласованности мнений группы экспертов: дисперсионный и энтропийный коэффициенты конкордации. Дисперсионный коэффициент конкордации. Рассмотрим матрицу результатов ранжировки n объектов группой из m экспертов [pic] (j=1,…,m; i=1,…,n), где [pic] - ранг, присваиваемый j-м экспертом i-му объекту. Составим суммы рангов по каждому столбцу. В результате получим вектор с компонентами [12] [pic] (i=1,2,…,n).
(5.14) Величины [pic] рассмотрим как реализации случайной величины и найдем оценку дисперсии. Как известно, оптимальная по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценка дисперсии определяется формулой [12]: [pic],
(5.15) где [pic] - оценка математического ожидания, равная [pic]
(5.16) Дисперсионный коэффициент конкордации определяется как отношение оценки дисперсии (5.15) к максимальному значению этой оценки [12] [pic].
(5.17) Коэффициент конкордации изменяется от нуля до единицы, поскольку [pic]. Вычислим максимальное значение оценки дисперсии для случая отсутствия связанных рангов (все объекты различны). Предварительно покажем, что оценка математического ожидания зависит только от числа объектов и количества экспертов. Подставляя в (5.16) значение [pic] из (5.14), получаем [12] [pic]
(5.18) Рассмотрим вначале суммированные по i при фиксированном j. Это есть сумма рангов для j-го эксперта. Поскольку эксперт использует для ранжировки натуральные числа от 1 до n, то, как известно, сумма натуральных чисел от 1 до n равна [12] [pic]
(5.19) Подставляя (5.19) в (5.18), получаем [12]
[pic][pic]
(5.20) Таким образом, среднее значение зависит только от числа экспертов m и числа объектов n. Для вычисления максимального значения оценки дисперсии подставим в (5.15) значение [pic] из (5.14) и возведем в квадрат двучлен в круглой скобке. В результате получаем [12] [pic] (5.21) Учитывая, что из (5.18) следует [pic] получаем [12] [pic]
(5.22) Максимальное значение дисперсии достигается при наибольшем значении первого члена в квадратных скобках. Величина этого члена существенно зависит от расположения рангов - натуральных чисел в каждой строке i. Пусть, например, все m экспертов дали одинаковую ранжировку для всех n объектов. Тогда в каждой строке матрицы [pic]будут расположены одинаковые числа. Следовательно, суммирование рангов в каждой i-u строке дает m- кратное повторение i-ro числа [12]: [pic] Возводя в квадрат и суммируя по i, получаем значение первого члена в (5.22) [12]: [pic]
(5.23) Теперь предположим, что эксперты дают несовпадающие ранжировки, например, для случая n=m все эксперты присваивают разные ранги одному объекту. Тогда [12] [pic] Сравнивая это выражение с [pic] при m=n, убеждаемся, что первый член в квадратных скобках формулы (9) равен второму члену и, следовательно, оценка дисперсии равна нулю. Таким образом, случай полного совпадения ранжировок экспертов соответствует максимальному значению оценки дисперсии. Подставляя (5.23) в (5.22) и выполняя преобразования, получаем [12] [pic]
(5.24) Введем обозначение [12] [pic]
(5.25)
Используя (5.25), запишем оценку дисперсии (5.15) в виде [12] [pic]
(5.26) Подставляя (5.24), (5.25), (5.26) в (5.17) и сокращая на множитель (n—1), запишем окончательное выражение для коэффициента конкордации [12] [pic]
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
