Шпаргалка: Все формулы по математике в школе

Все формулы по математике в школе

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a±b)?=a?±2ab+b?

(a±b)?=a?±3a?b+3ab?±b?

a?-b?=(a+b)(a-b)

a?±b?=(a±b)(a?∓ab+b?),

(a+b)?=a?+b?+3ab(a+b)

(a-b)?=a?-b?-3ab(a-b)

xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a?xn-3+...+an-1)

ax?+bx+c=a(x-x1)(x-x2)  

где x1 и x2 — корни уравнения

ax?+bx+c=0

Степени и корни :

ap·ag = ap+g

ap:ag=a p-g

(ap)g=a pg

ap /bp = (a/b)p

ap×bp = abp

a0=1; a1=a

a-p = 1/a

pÖa =b => bp=a

pÖapÖb = pÖab 

Öa ; a ? 0

      ____

    /   __         _

pÖ gÖa    = pgÖa

    ___       __

pkÖagk =  pÖag

 p  ____

   /    a            pÖa   

  /  ¾¾  = ¾¾¾¾

Ö     b             pÖb

a 1/p = pÖa 

pÖag = ag/p

Квадратное уравнение

ax?+bx+c=0; (a¹0)

x1,2= (-b±ÖD)/2a; D=b? -4ac

D>0® x1¹x2 ;D=0® x1=x2

D<0, корней нет.             

Теорема Виета:

 x1+x2 = -b/a 

 x1× x2 = c/a  

 Приведенное кв. Уравнение:

x? + px+q =0

 x1+x2 = -p

 x1×x2 = q

 Если p=2k (p-четн.)

и x?+2kx+q=0, то x1,2  = -k±Ö(k?-q)

Нахождение длинны отр-ка

по его координатам

Ö((x2-x1)?-(y2-y1)?)

Логарифмы:

loga x = b => ab = x; a>0,a¹0

a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0

loga  x = b;  x = ab

loga b = 1/(log b a)

logaxy = logax + loga y  

loga x/y = loga x - loga y

loga xk =k loga x (x >0)

logak x =1/k loga x                          

loga x = (logc x)/( logca); c>0,c¹1

logbx = (logax)/(logab)

Прогрессии

Арифметическая

an  = a1 +d(n-1)

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n                

Геометрическая

 bn  = bn-1 ×  q

b2n = bn-1× bn+1

bn = b1×qn-1

Sn = b1 (1- qn)/(1-q)

S= b1/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p-a) = sin a

sin (p/2 -a) =  cos a

cos (p/2 -a) = sin a

cos (a + 2pk) = cos a

sin  (a + 2pk) = sin a

tg  (a + pk) = tg a

ctg (a + pk) = ctg a

sin? a + cos? a =1

ctg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ

tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ

1+tg?a = 1/cos?a , a¹p(2n+1)/2

1+ ctg?a =1/sin?a , a¹ pn

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ¹ p/2 + pn

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)           

x, y, x - y ¹ p/2 + pn

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos? a - sin? a = 2 cos? a - 1 =

= 1-2 sin?a

tg 2a = (2 tga)/ (1-tg?a)

1+ cos a = 2 cos? a/2

1-cosa = 2 sin? a/2

tga = (2 tg (a/2))/(1-tg?(a/2))

 Ф-лы половинного аргумента.

sin? a/2 = (1 - cos a)/2

cos?a/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a            

 a¹ p + 2pn, n ÎZ

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)         

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

                      sin (x+y)

tg x + tg y = —————      

                     cos x cos y 

                    sin (x - y)            

tg x - tgy =  —————                

                    cos x cos y        

Формулы преобр. произв. в сумму  

sin x sin y = ?(cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = ?(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ?(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)            

cos x =  (1-tg2 2/x)/ (1+ tg? x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)

sin?a = 1/(1+ctg?a) = tg?a/(1+tg?a)

cos?a = 1/(1+tg?a) = ctg?a / (1+ctg?a)

ctg2a = (ctg?a-1)/ 2ctga

sin3a = 3sina -4sin?a = 3cos?asina-sin?a

cos3a = 4cos?a-3 cosa= 

= cos?a-3cosasin?a

tg3a = (3tga-tg?a)/(1-3tg?a)

ctg3a = (ctg?a-3ctga)/(3ctg?a-1)

sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2)

cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2)

tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))=

sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))=

sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina

sin(arcsin a) = a

cos( arccos a) = a

tg ( arctg a) = a

ctg ( arcctg a) = a

arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2]

arccos(cos a) = a ; a Î [0 ; p]

arctg (tg a) = a ; a Î[-p/2 ; p/2]

arcctg (ctg a) = a ; a Î [ 0 ; p]

arcsin(sina)=

1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]

2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]

arccos (cosa) =

1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]

2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk]

arctg(tga)= a-pk

aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)

arcctg(ctga) = a -pk

aÎ(pk; (k+1)p)

arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =

= arctg a/Ö(1-a?)

arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=

 = arc ctga/Ö(1-a?)

arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =

= arcsin a/Ö(1+a?)

arc ctg a = p-arc cctg(-a) =

= arc cos a/Ö(1-a?)

arctg a = arc ctg1/a =

= arcsin a/Ö(1+a?)= arccos1/Ö(1+a?)

arcsin a + arccos = p/2

arcctg a + arctga = p/2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| ? 1

x = (-1)n arcsin m + pk, kÎ Z

sin x =1               sin x = 0

x = p/2 + 2pk       x = pk

sin x = -1

x = -p/2 + 2 pk

cos x = m; |m| ? 1

x = ± arccos m + 2pk

cos x = 1    cos x = 0

x = 2pk       x = p/2+pk

cos x = -1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg

cos x/2 = (1-t?)/(1+t?)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

 logaf(x) >(<) log a j(x)

1. a>1, то :  f(x) >0

                   j(x)>0

                    f(x)>j(x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

                     j(x)>0

                     f(x)<j(x)

3. log f(x) j(x) = a   

ОДЗ: j(x) > 0

 f(x) >0

f(x ) ¹ 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - Ö3 cos x = 0

2sin x cos x -Ö3 cos x = 0

cos x(2 sin x - Ö3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.

sin? x - sin 2x + 3 cos? x =2

sin? x - 2 sin x cos x + 3 cos ? x = 2 sin? x + cos? x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin a ³ m

2pk+a1 ? a ? a2+ 2pk

2pk+a2 ? a? (a1+2p)+ 2pk

Пример:

I cos (p/8+x) < Ö3/2

  pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk

  2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;;

II sin a ? 1/2

2pk +5p/6 ?a? 13p/6 + 2pk

cos a ³(?) m

2pk + a1 < a< a2+2 pk

2pk+a2< a< (a1+2p) + 2pk

cos a ³ - Ö2/2

2pk+5p/4 ?a? 11p/4 +2pk

tg a³(?) m

pk+ arctg m ?a? arctg m + pk

ctg ³(?) m

pk+arcctg m < a< p+pk

Производная:

(xn)’ = n× xn-1

(ax)’ =  ax× ln a

(lg ax )’= 1/(x×ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos? x

(ctg x)’ =  - 1/sin?x

(arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x?)

(arccos x)’ = - 1/ Ö(1-x?)

(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x?)

(arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+x?)

Св-ва:

(u × v)’ = u’×v + u×v’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v?

Уравнение касательной к граф.

y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х

Интегралы :

ò xn dx = xn+1/(n+1) + c

ò ax dx = ax/ln a + c

ò ex dx = ex + c

ò cos x dx = sin x + cos

ò sin x dx = - cos x + c

ò 1/x dx = ln|x| + c

ò 1/cos? x =  tg x + c

ò 1/sin? x = - ctg x + c

ò 1/Ö(1-x?) dx = arcsin x +c

ò 1/Ö(1-x?) dx = - arccos x +c

ò 1/1+ x? dx =  arctg x + c 

ò 1/1+ x? dx = - arcctg x + c 

Площадь криволенейной трапеции.

 Геометрия

Треугольники

a + b + g =180

Теорема синусов

a? = b?+c? - 2bc cos a

b? = a?+c? - 2ac cos b

c? = a? + b? - 2ab cos g

 Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=?(a+b+c)

         _____________

S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)

S = ?ab sin a

Sравн.=(a?Ö3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2× h

Круг

S=  pR?

Sсектора=(pR?a)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=Sосн×Р

Прямоугольный

 V=abc

Пирамида

V =1/3Sосн.×H

Sполн.= Sбок.+ Sосн.

Усеченная :

       H .               _____

V =  3    (S1+S2+ÖS1S2)

S1 и S2 — площади осн.

Sполн.=Sбок.+S1+S2

Конус

V=1/3 pR?H

Sбок. =pRl

Sбок.= pR(R+1)

Усеченный

Sбок.= pl(R1+R2)

V=1/3pH(R12+R1R2+R22)

Призма

V=Sосн.×H

прямая: Sбок.=Pосн.×H

Sполн.=Sбок+2Sосн.

наклонная :

Sбок.=Pпс×a

V = Sпс×a, а -бок. ребро.

Pпс — периметр

 Sпс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=pR?H ; Sбок.= 2pRH

Sполн.=2pR(H+R)

Sбок.= 2pRH

Сфера и шар .

V = 4/3 pR? - шар

S = 4pR? - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 pR?H

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=pH?(R-H/3)

S=2pRH

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ilib.ru/