Действительные числа:
Теорема: R - несчётное множество.
Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1)
X1=0,n11n12n13…n1k… m1Î{0,1,…,9}\{9,n11}
X2=0,n21n22n23…n2k… m2Î{0,1,…,9}\{9,n22}
……………………… ………………………
Xk=0,nk1nk2nk3…nkk… mkÎ{0,1,…,9}\{9,nkk}
a=0,m1m2…mk… Þ a¹x1 a¹x2 a¹x3 …… a¹xk
aÏ(0;1) Противоречие.
0<a<1 Þ R - несчётное множество.
Теорема: Q - Счётное множество.
Док-ть: Q+ - счётное, т.к. Q=Q-U{0}UQ+
Док-во:
Q+ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных
множеств. Q- - Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные
. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным Þ Q - сч. мн.
Предел числовой последовательности:
Пусть aÎR, e>0 x-a
Последовательность {Xn} имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого
бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e - окрестность точки a.
Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.
$n0=n0(e)ÎN: n>n0 Þ |xn-a|<e a=limxn , при n®¥
Свойства:
1. Единственность (Если предел есть, то только один)
Док-во: Метод от противного. a=limxn , b=limxn , при n®¥, a>b, a-b=e>0
$n0=n0(e/3):|xn-a|<e/3 и |xn-b|<e/3
e=a-b=(a-xn)-(b-xn)
e=|(a-xn)-(b-xn)|£ |(a-xn)|+|(b-xn)|£2e/3
e£2e/3 Противоречие.
2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)
Дано: $limxn=a, при n®¥ - конечный предел
Док-ть:$M>0:|xn|<M "n
Док-во: limxn=a, при n®¥:"e>0 $n0=n0(e):a-e<xn<a+e, при n>n0
Пусть e=1, тогда при n>n0(1) будет выполняться a-1<xn<a+1 или |xn-a|<1
Тогда |xn|<|(xn-a)+a|<|xn-a|+|a|<|a|+1 "n>n0(1)
P=max,
M=maxaÞ|xn|<M "n
3. Предел подпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая
её подпоследовательность имеет тоже предел а)
Свойства предельного перехода связанные с неравенствами:
Теорема 1. Пусть $limxn=x, при n®¥ - конечный (1 последовательность)
$limyn=y, при n®¥ - конечный (2 последовательность)
Если x<y, то для почти всех n xn<yn
Док-во: e=y-x>0
$n|=n|(e/3): |xn-x|<e/3 "n>n|
$n||=n||(e/3): |yn-y|<e/3 "n>n|
n0=maxn, n>n0
x-e/3<xn<x+e/3 î
y-e/3<yn<y+e/3 ì Þ xn<x+e/3<y-e/3<yn Þ "n>n0 xn<yn Что и т. док-ть.
Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то
эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n
сохраняет знак своего предела)
x=limxn, x¹0
1) x>0 Предположим x>0 x/2>0Þx>x/2
limxn>x/2, при n®¥ Из Т.1. следует, что $n0:"n>n0 xn>x/2>0
Теорема 2. Предположим, что $limxn=x и $limyn=y, при n®¥
Если для почти всех n:xn£yn, то и x£y
Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1. Þ xn>yn для почти всех n
Противоречие.
Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении.
Пусь $limxn=limyn=a, при n®¥, и предположим, что xn£zn£yn "n, тогда
1) Сущ. limzn, при n®¥
2) limzn=a, при n®¥
Док-во: $n|=n|(e):a-e£xn£a+e, "n>n|
$n||=n||(e):a-e£yn£a+e, "n>n||
n0=max
n>n0 Þ a-e£xn£zn£yn£a+e Þ a-e£zn£a+e Þ $limzn=a
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:
defû {xn}-б.м. :=limxn=0, при n®¥, т.е. "e>0 $n0=n0(e) n>n0 Þ |xn|<e
defû {xn}-б.б. :=limxn=¥, при n®¥, т.е. "e>0 $n0=n0(e) n>n0 Þ |xn|>e
Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.
{xn}-б.м. {yn}-ограниченная {xnyn}-б.м.
Док-во: $M>0:|yn|£M "n - значит ограничена.
"e>0 $n0=n0(e/M):n>n0 Þ |xn|<e/M Þ
Þ n>n0 |xnyn|=|xn||yn|£e/M*M=e Þ {xnyn}-б.м.
Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.
{xn}-б.б. и {yn}-отдел от нуля
Док-во: {1/xn*1/yn}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству)Þ {xnyn}-б.б.
Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.
{xn} и {yn}-б.м. Þ{xn+yn}-б.м.
Док-во: "e $n|=n|(e/2):n>n| |xn|<e/2
$n||=n||(e/2):n>n|| |yn|<e/2
n0=max,n
n>n0 Þ |xn+yn|£|xn|+|yn|<e/2+e/2=e
Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей
нужно применить метод мат. индукции.
Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака
Док-во: Очивиднл.
Неопределённые интегралы.
def / F(x) называется первообразной
для f(x) на [a;b] если F ¢(x)=f(x)
У непрерывной функции первообразная
всегда есть.
Теорема: Различные первообразные
одной и той же функции отличаются
на одно и тоже постоянное слагаемое.
Док-во: F1(x) и F2(x) – первообразные для f(x)
F(x)= F1(x)- F2(x)
F ¢(x)= F1¢(x)- F1¢(x)=f(x)-f(x)=0
F(x)=const
Def / Совокупность всех первообразных одной
и той же функции называется её
неопределённым интегралом.
Св-ва линейности:
Замена переменных в неопределённом интеграле
или методом подстановки.
Теорема: Пусть функция x=
x(t): (a;b)®(a;b), xÎC1(a;b), fÎC(a;b)
1)
½x=x(t)
2) Если x¢(t) сохраняет знак, тогда
½t=t(x)
Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F ¢(x(t))x¢(t)=f(x(t))x¢(t)
2) x(t) – строго монотонная Þ $обратная t=t(x)
Интегрирование по частям.
Рекуррентная формула.
y=a+bx2 y¢=2bx xy¢=2bx2=2(y-a)
U=1/yn dx=dV dU=(-ny¢/yn+1)dx V=x
In=x/yn+2nIn-2naIn+1
1) In+1=(1/2na)(x/yn+(2n-1)In), n¹0, a¹0
2) In=(1/(2n-1))(2naIn+1-x/yn), n¹1/2, a¹0
Поле комплексных чисел.
(x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi
– алгебраическая запись комплексного числа
Чертёж :
