Задание №2. Вопрос №9.
Задание №3. Вопрос №1.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №13. Вопрос №2.
Задание №18. Вопрос №9
Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Задание №14. Вопрос №2.
Задание №15. Вопрос №6.
Задание №18. Вопрос №9.
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
Дополнительно Часть II.
В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.
Решение:
машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте.
60-15=45
машин с водителями ежедневно уходят в рейс.
54-45=9
водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
Ответ:Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь свободных дней.
Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и найдите координаты точки равновесия, если , .
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
С осью OP (Q=0):
С осью OQ (P=0):
Для Q=QS(P):
Для Q=QD(P):
Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).
Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
, из этой системы получаем:
, тогда , значит координаты т.M.
Ответ:Координаты точки равновесия равны ,
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:
Ответ:Производная заданной функции равна
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
числа:
Ответ:Приближенное значение заданного числа равно 1,975.
Исследуйте функцию и постройте ее график:
С осью OY :
С осью OX (y=0):
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
Точка пересечения:
Точки пересечения: ,
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: , т.е. - уравнение горизонтальной асимптоты.
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. :
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , отсюда x=0, следовательно , значит точка - точка экстремума функции.
На участке производная > 0, значит, при , заданная функция возрастает.
На участке производная < 0, значит, при , заданная функция убывает (рис 2.).
Следовательно - точка максимума заданной функции .
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. :
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , значит , тогда , отсюда
Отсюда , .
На участке производная >0, значит это участок вогнутости графика функции.
На участке производная >0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.
На участке производная <0, значит, при график заданной функции является выпуклым (рис. 3).
Следовательно, точки , - точки перегиба графика заданной функции .
Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).
Фирма производит товар двух видов в количествах и. Задана функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.
, ,
Пусть - функция прибыли, тогда
Найдем первые частные производные функции f(x,y):
, . Найдем стационарные точки графика функции . Для этого решим систему:
Следовательно - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого
введем обозначения: , , ,
тогда , , , . Т.к. A>0, то экстремум есть, а т.к. < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска и , достигается максимальная прибыль равная:
Ответ: и достигается при объемах выпуска и .
Вычислить неопределенный интеграл:
Ответ:
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .
Ответ:Данный несобственный интеграл – расходящийся.
Решить уравнение
. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение . Представим , как , тогда
Ответ:Решением данного уравнения является .
Найти общее решение уравнения:
Найдем корни характеристического уравнения: , тогда , следовательно , , тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
,
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и , возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
Представим правую часть уравнения, как и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:
. Имеем , , тогда т.к. - многочлен второй степени, то общий вид правой части: . Найдем частные решения:
Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем , решив систему:
, отсюда .
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: .
Ответ: .
Найти предел: .
.
Ответ:Заданный предел равен .
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной
асимптоты имеет вид: .
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты с осями
координат:
С осью OX: точка,
с осью OY: точка
Ответ: и – уравнения асимптот заданной функции.
Исходя из определения производной, докажите: .
Т.к. по определению производная функции в точке вычисляется по формуле , тогда приращение в точке : .
Следовательно .
Ответ:.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя: .
Написать в точке уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: .
Уравнение касательной плоскости к графику функции в точке имеет вид: . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: . Подставив в полученное уравнение координаты точки вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:
Ответ:Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке имеет вид .
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области: .
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
, точка не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями и . Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:
Эта система имеет четыре решения:
Точка – точка условного максимума, при этом функция .
Точка – точка условного минимума, при этом функция .
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система также имеет четыре решения:
В точке – точка условного минимума, при этом функция .
Следовательно, заданная функция в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках и и наименьшего в точках и при этом графики функций и касаются окружности в точках ,B, и, соответственно (см. рис.6).
Ответ:Заданная функция при условии имеет и .
Вычислить неопределенный интеграл: .
Заданный неопределенный интеграл равен .
Решить уравнение: .
. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение:
Решением данного уравнения является .
