Рефераты. Реферат: Виды тригонаметричных уравнений

Реферат: Виды тригонаметричных уравнений

Реферат

на тему:

“Виды тригонометрических

у
уравнений”

Успенского Сергея

Харцызск

2001 год

Виды тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin(3x - (/4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - (/4).

sin(3x - (/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а
находим

3х - (/4 = (-1)n arcsin 1/2 + n(, n(Z.

Зх - (/4 = (-1)n (/6 + n(, n(Z; 3x = (-1)n (/6 + (/4 + n(, n(Z;

x = (-1)n (/18 + (/12 + n(/3, n(Z

Если k = 2n (четное), то х = (/18 + (/12 + 2(n/3, n(Z.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - (/18 + (/12 + ((2(n + 1)()/3
=

= (/36 + (/3 + 2(n/3 = 13(/36 + 2(n/3, n(z.

Ответ: х1 = 5(/6 + 2(n/3,n(Z, x2 = 13(/36 + 2(n/3, n(Z,

или в градусах: х, = 25° + 120 ( n, n(Z; x, = 65° + 120°( n, n(Z.

Пример 2. sinx + (з cosx = 1.

Решение. Подставим вместо (з значение ctg (/6, тогда уравнение примет
вид

sinx + ctg (/6 cosx = 1; sinx + (cos(/6)/sin(/6 ( cosx = 1;

sinx sin (/6 + cos (/6 cosx = sin (/6; cos(x - (/6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х - (/6 = ± arccos 1/2 + 2(n, n(Z; x = ± (/3 + (/6 + 2(n, n(Z;

x1 = (/3 + (/6 + 2(n, n(Z; x1 = (/2 + 2(n, n(Z;

x2 = - (/3 + (/6 + 2(n, n(Z; x2 = -(/6 + 2(n, n(Z;

Ответ: x1 = (/2 + 2(n, n(Z; x2 = -(/6 + 2(n, n(Z.

2. Двучленные уравнения:

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность
преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx ( cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = (n, n(Z, x2 = (/4 + (n/2,
n(Z.

Ответ: x1 = (n, n(Z, x2 = (/4 + (n/2, n(Z.

3. Разложение на множители:

Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx

Решение. cosx ( 0; x ( (/2 + (n, n(Z.

sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx ( cosx + sinx - sin2x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 = (n, n(Z; cosx - cos((/2 - x) = -1; 2sin (/4 ( sin((/4 - x) = -1;

(2 ( sin((/4 - x) = -1; sin((/4 -x) = -1/(2; (/4 - x = (-1) n+1 arcsin
1/(2 + (n, n(Z;

x2 = (/4 - (-1) n+1 ( (/4 - (n, n(Z; x2 = (/4 + (-1) n ( (/4 + (n, n(Z.

Если n = 2n (четное), то x = (/2 + (n, если n = 2n + l (нечетное), то x
= (n.

Ответ: x1 = (n, n(Z; x2 = (/4 + (-I)n ( (/4 + (n, n(Z.

4. Способ подстановки

Пример 1. 2 sin2x = 3cosx.

Решение. 2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx -
2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| ( 1. 2z2 + 32z - 2=0.

Д = 9+16 = 25; (Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± (/3 + 2(n, n(Z. Ответ: х = ± (/3 + 2(n, n(Z.

5. Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени)
или

a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx ( 0, cosx ( 0. Решаются они делением обеих частей
уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям относительно
tgx или ctgx.

Пример 1. (3sin2 2x - 2sin4x + (3cos22x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение (3sin22x - 4sin2xcos2x + (3cos22x = 0.

Разделим на cos22x. Уравнение примет вид (3 tg22x – 4tg2x + (3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда (3z2 - 4z + (3 = 0; Д = 4; (Д = 2.

z1 = (4 +2)/2(3 = 6/2(3 = (3; z2 = (4 – 2)/2(3 = 1/(3

tg2x = (3 или tg2x = 1/(3

2x = (/3 + (n, n(Z; 2x = (/6 + (n, n(Z;

x1 = (/6 + (n/2, n(Z ; x2 = (/12 + (n/2, n(z.

Ответ: x1 = (/6 + (n/2, n(Z ; x2 = (/12 + (n/2, n(z.

6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sin( = 4/5; cos( = 3/5; sin(x+() = 1, x + ( = (/2 + 2(n, n(Z.

Ответ: x = (/2 - arcsin 4/5 + 2(n, n(Z.

7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются
дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за
областью допустимых значений.

Пример 1. 1/((3-tgx) – 1/((3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx ( ± (3, х ( ± (/8 + (n, n(Z и х ( ± (/2 + (n, n(Z.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую
преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс
половинного угла.

((3 + tgx - (3 + tgx)/3 - tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 - tg2x) =
2tgx/(1 + tg2x)

x1 = (n, n(Z

Второе уравнение имеет вид

2tg2x - 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2 = ± (/4 + (n, n(Z.

Ответ: x1 = (n, n(Z; х2 = ± (/4 + (n, n(Z.

8. Иррациональные тригонометрические уравнения

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком
радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В
таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при
решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых
значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной
степени).

Пример 1. (( cos2x + 1/2) + (( sin2x + 1/2) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения
в квадрат.

cos2x + 1/2 + 2 ((( cos2x + 1/2) ( sin2x + 1/2)) + sin2x + 1/2 = 4

((( cos2x + 1/2) ( sin2x + 1/2)) = 1; ( cos2x + 1/2) ( sin2x + 1/2) =
1

( 1/2 + 1/2 cos2x + 1/2)( 1/2 - 1/2 cos2x + 1/2) = 1; (1 + 1/2 cos2x) (1
- 1/2 cos2x) = 1;

1 – 1/4 cos22x = 1; cos2x=0; x = (/4 + (n/2, n(z

Ответ: x = (/4 + (n/2, n(z.

9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической
функции находится функция

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной
зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится
какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного
исследования множества решений.

Пример 1. tg(x2 + 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2+5x)=tg 6. Учитывая, что
аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2 + 5х
= 6 + (n, n(Z; х2 + 5х - (6+(n) = 0, n(z;

Д = 25 + 4(6 + (n) = 49 + 4(n, n(Z; х1,2 = (-5 ( ((49 + 4(n))/2, n(z

Решение имеет смысл, если 49 + 4(n > 0, т.е. n ( -49/4(; n ( -3.

Литераура:

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 116 - 125)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 62 - 78)