Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда =,
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
Допустим, что этот предел равен конечному числу :
.
Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет
или
Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N
Напишем теперь тождество:
,
откуда
Второе слагаемое справа при n>N становится <; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N’. Если при этом взять N’>N, то для n>N’, очевидно, , что и доказывает наше утверждение.
(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что , что и требовалось доказать.
Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:
Если варианта anимеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта
(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).
Действительно, полагая в теореме Штольца
Xn=a1+a2+…+an, yn=n,
Имеем:
Например, если мы знаем, что ,
то и
которая представляет неопределённость вида .
Полагая в теореме Штольца
xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,
будем иметь
Но
(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… ,
так что
nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…
и
представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :
Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим
Но ,
а ,
так что, окончательно,
Пример 1.
====== ===.
Пример 2.
=
==
=.
Пример 3.
Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.
Пусть функция , причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk), т.е. функция возрастающая.
Тогда ,
если только существует предел справа конечный или бесконечный.
Доказательство:
Допустим, что этот предел равен конечному числу k
Тогда, по определению предела
Значит, какой бы ни взять, все дроби
, , …,
лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при
Напишем тождество(которое легко проверить):
Откуда
Второе слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему.
Найти следующие пределы:
===2
====0
===