Точками, в которых множители меняют знаки, являются –5, 1, 2, 6. Они разбивают числовую ось не интервалы (-¥ ; -5), (-5; 1), (1; 2), (2; 6),(6; +¥ ). С помощью кривой знаков находим интервалы, где выполняется неравенство: (-5; 1) и (2; 6). При этом из (-5; 1) надо удалить точку 0, так как в этой точке выражение обращается в нуль. Итак, получаем ответ в виде (-5; 0)È (0; 1)È (2; 6).
Ответ: (-5; 0)È (0; 1)È (2; 6).
Пример: Решить неравенство
Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде
Нанесем числа 0, 1, 2, 5, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль, на числовую ось. Они разбивают числовую ось на пять промежутков.
С помощью “пробных” точек найдем знак выражения в каждом промежутке.
Выпишем интервалы, где выполняется неравенство: (-¥ ; 0), (0; 1), (2; 5).
Ответ: (-¥ ; 0)È (0; 1)È (2; 5).
При решении неравенства, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, используется тот же прием, что и при решении уравнении, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, именно: решение исходного неравенства сводится к решению нескольких неравенств, рассматриваемых на промежутках знакопостоянства выражений, стоящих под знаков абсолютной величены.
½ х2 - 2½ + х < 0.(*)
Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х2 – 2, стоящего под знаком абсолютной величены.
х2 – 2 ³ 0,
тогда неравенство (*) принимает вид
х2 + х –2 < 0.
Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х2 –2 ³ 0 представляет собой первое множество решений исходного неравенства (рис 1): хÎ (-2; - ].
2) Предположим, что х2 – 2 < 0, тогда согласно определению абсолютной величены имеем ½ х2 - 2½ = 2 – х2, и неравенство (*) приобретает вид
2 – х2 + х < 0.
Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х2 – 2 < 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): хÎ (- ; -1).
Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем хÎ (-2; -1)
Ответ: хÎ (-2; -1).
В отличие от уравнений неравенства не допускают непосредственной проверки. Однако в большинстве случаев можно убедиться в правильности полученных результатов графическим способом. Действительно, запишем неравенство примера в виде
½ х - 2½ < -х.
Построим функции y1 =½ х2 - 2½ и y2 = -х, входящие в левую и правую часть рассматриваемого неравенства, и найдем те значения аргумента, при которых y1<y2.
На рис. 3 заштрихованная область оси абсцисс содержит искомые значения х.
Решение неравенств, содержащих знак абсолютной величены, иногда можно значительно сократить, используя равенство ½ х½ 2= х2.
.(*)
Решение: Исходное неравенство при всех х ¹ -2 эквивалентно неравенству
½ х - 1½ > ½ х + 2½ . (**)
Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство
6х < -3,
т.е. х < -1/2.
Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства, определяемого условием х ¹ -2, окончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех хÎ (-¥ ; -2)È (-2; -1/2).
Ответ: (-¥ ; -2)È (-2; -1/2).
Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:
Решение: Так как ½ х +1½ ³ 0 и, по условию, ½ х +1½ ¹ 0, то данное неравенство равносильно следующему: 2х + 5 > ½ х +1½ . Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств –(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5,
откуда
Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х ¹ -1, иначе выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла.
Ответ: 0.
Пример: Решить неравенство:
Решение: Пусть ½ х½ = y. Заметим далее, что ½ х½ + 1 > 0. Поэтому данное неравенство эквивалентно следующему: -2 ³ (y –2)(y + 1), или y2 – y £ 0, или 0 £ y£ 1, или 0 £ ½ х½ £ 1. Отсюда -1£ х £ 1.
Ответ: [-1; 1].
½ х2 – 3х + 2½ + ½ 2х + 1½ £ 5.
Решение. х2 – 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -Ѕ. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.
Ответ: £ х £ 2.
Пример: Решить неравенство.
½ ½ х3 + х - 3½ - 5½ £ х3 – х + 8.
Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.
Неравенства с параметрами являются наиболее трудными задачами курса элементарной математики. Это объясняется тем, что их решения следует получать при всех допустимых значениях входящих в них параметров.
Пример: Для всех значений а решить неравенство
aх > 1/x.
Решение: Запишем неравенство в виде
тогда исходное неравенство эквивалентно двум системам неравенств:
ax2 – 1 > 0,ax2 – 1 < 0,
x > 0; x < 0.
Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем в виде:
ax2 > 1.
При а > 0 оно эквивалентно неравенству х2 > 1/a, множество решений которого х < -1/ и x > 1/ . В этом случае решения первой системы: хÎ (1/ ; ¥ ). При а £ 0 левая часть неравенства ах2 –1 > 0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и вся система неравенств.
Рассмотрим вторую систему. При а > 0 решениями неравенства ах2 – 1<0 будут значения хÎ (-1/ ; 1/ ), а решениями системы ¾ значения хÎ (-1/ ; 0). При a£ 0 левая часть неравенства ах2 –1 < 0 отрицательна при
любых значениях х, т.е. это неравенство выполняется при все хÎ R и, следовательно, решениями системы будут значения хÎ (-¥ ; 0).
Приведем графическую иллюстрацию решения этого примера.
Для этого рассмотрим отдельно два случая а > 0 и а £ 0 и для каждого из них построим графики функций, стоящих в левой и правой частях исходного неравенства. Заштрихованные промежутки оси Ох представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях.
Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений и неравенств с параметрами.
Ответ: Если а £ 0, то хÎ (-¥ ; 0); если а > 0, то хÎ (-1/ ; 0)È (1/ ; ¥ ).
Решение: Преобразуем данное неравенство: 3m2х + 3 – 2mx2 – 6 < m + 9x; mx2 – 9x < m + 3; (m – 3)(m + 3)x < m + 3. Далее находим решение неравенства при различных значения параметра m:
Пример: Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство
4а3х4 + 4а2х2 + 32х + а + 8 ³ 0.
Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно х, так и относительно параметра а. Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на а, а затем сделать замену y = ax, то в новом многочлене максимальная степень параметра а будет равна 2. Случай а = 0 дает нам ответ х ³ - ј. Будем теперь считать, что а > 0. Умножив обе части неравенства на а и сделав замену y = ax, получим
4y4 + 4ay2 + 32y + a2 + 8a ³ 0.
Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно а:
a2 + (4y2 + 8)a + 4y2 + 32y ³ 0,
јD = (2y2 + 4) 2 – 4y2 – 32y = 16(y – 1) 2.
Раскладывая левую часть неравенства на множители, получим
(а + 2y2 + 4y)(a + 2y2 – 4y + 8) ³ 0,
или
(2y2 + 4y + a)(2y2 – 4y + 8 + a) ³ 0.
Второй множитель положителен при всех y, если а > 0. Приходим к неравенству 2y2 + 4y + a ³ 0, откуда, если 0 < a < 2, y £ Ѕ(-2 - ) или y ³ Ѕ(-2+ ); если а ³ 2, y – любое. Возвращаясь к х, получим ответ.
Ответ: Если а = 0, то х ³ - ј; если 0 < a < 2, то х £ 1/2a*(-2 - ) или х ³ 1/2a(-2 + ); если а ³ 2, то х – любое.
Пример: Решить систему неравенств
Решение: Поскольку решением первого неравенства является 1 £ х £ 2, то задача сводится (при а ¹ 0) к выяснению расположения корней квадратного трехчлена f(x) = ах2 – 2(а + 1)х + а –1 относительно отрезка [1; 2]. Имеем
јD = (а + 1) 2 – а(а – 1) = 3а + 1, f(1) = -3, f(2) = а – 5.
Область изменения параметра а оказалось разделенной на 4 части (не считая граничных точек).
не имеет решения. То же имеет место и при а = 0.
Ответ: Если а < 5, система не имеет решения; если а ³ 5, то 1/а(а + 1 + ) £ х £ 2.
½ 2х2 + х – а - 8½ £ х2 + 2х – 2а – 4.
Решить: Напомним, что неравенство ½ а½ £ b эквивалентно двойному неравенству –b £ a £ b. В нашем случае после преобразования приходим к системе неравенств
а £ -х2 + х + 4,
а £ х2 + х – 4.
Изобразим на плоскости (х; а) множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе. При конкретном значении параметра а = a решением нашего неравенства будут абциссы тех точек горизонтальной прямой а = a , которые находятся в заштрихованной области. Найдем точки пересечения А(2; 2), В(-2; -2) наших точек парабол и вершину С(-0,5; -4,25) параболы а = х2 +х – 4.
Далее получаем: если а > 2, то соответствующая прямая пересекается с заштрихованной областью.
Если –2 < a £ 2, то соответствующая прямая пересекается с заштрихованной областью по отрезку. Концами этого отрезка будут точки с абциссами (больший корень уравнения а = х2 + х – 4 или х2 – х – 4 + а= 0).
Если –4ј £ a £ -2, то горизонтальная прямая, соответствующая таким а, пересекается с заштрихованной областью по двум отрезкам. Решением неравенства будет
Пусть надо найти числовые значения х, при которых превращаются в верные числовые неравенства одновременно несколько рациональных неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным х.
Чтобы решить систему рациональных неравенств, надо найти все решения каждого неравенства системы. Тогда общая часть всех найденных решений и будет решением системы.
Сначала решаем неравенство
(х – 1)(х – 5)(х – 7) < 0.
Применяя метод интервала (рис. 1), находим, что множество всех решении неравенства (2) состоит из двух интервалов: (-¥ , 1) и (5, 7).
Теперь решим неравенство
Применяя метод интервалов (рис. 2), находим, что множество всех решении неравенства (3) также состоит их двух интервалов: (2, 3) и (4, +¥ ).
Теперь надо найти общую часть решении неравенств (2) и (3). Нарисуем координатную ось х и отметим на ней найденные решения. Теперь ясно, что общей частью решении неравенств (2) и (3) является интервал (5, 7) (рис. 3).
Следовательно, множество всех решении системы неравенств (1) составляет интервал (5, 7).
Решим сначала неравенство
х2 – 6х + 10 < 0.
Применяя метод выделения полного квадрата, можно написать, что
х2 – 6х + 10 = х2 - 2× х× 3 + 32 - 32 + 10 = (х – 3) 2 +1.
Поэтому неравенство (2) можно записать в виде
(х – 3) 2+ 1 < 0,
откуда видно, что оно не имеет решении.
Теперь можно не решать неравенство
так как ответ уже ясен: система (1) не имеет решении.
Рассмотрим сначала первое неравенство; имеем
С помощью кривой знаков (рис. 4) находим решения этого неравенства: х < -2; 0 < x < 2.
Решим теперь второе неравенство заданной системы. Имеем x2 - 64 < 0, или (х – 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков (рис. 5) находим решения неравенства: -8 < x < 8.
Отметив найденные решения первого и второго неравенства на общей числовой прямой (рис. 6), найдем такие промежутки, где эти решения совпадают (пресечение решении): -8 < x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.
Преобразуем первое неравенство системы:
х3(х – 10)(х + 10) ³ 0, или х(х – 10)(х + 10) ³ 0
(т.к. множители в нечетных степенях можно заменять соответствующими множителями первой степени); с помощью метода интервалов (рис. 7) найдем решения последнего неравенства: -10 £ х £ 0, х ³ 10.
Рассмотрим второе неравенство системы; имеем
Находим (рис. 8) х £ -9; 3 < x < 15.
Объединив найденные решения, получим (рис. 9) х £ 0; х > 3.
Пример: Найти целочисленные решения системы неравенств:
Решение: Приведем систему к виду
Складывая первое и второе неравенства, имеем y < 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим
откуда –1 < x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.
Ответ: х = 0, y =2.
Неравенства с одной или двумя переменными можно решать графически.
Неравенство с одной переменой можно записать так: f(x) > g(x), где f(x) и g(x) – выражения, содержащие переменную.
Построим в одной системе координат графики функций y = f(x) и у = g(x).
Решение неравенства есть множество значений переменой х, при которых график функций у=g(x), так как f(x)>g(x).Это показано на рисунках 1 и 2.
Решение неравенства с двумя переменными f(x,y)>0 есть множество
точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Рассмотрим на примерах решение некоторых неравенств с двумя переменными.
Пример 1. Решить графически неравенство
x + у > 0.
Решение. Запишем неравенство в виде у> -х. Построим прямую у= -х. Координаты точек плоскости, которые лежат выше этой прямой, есть решение неравенства ( на рисунке 3 – заштрихованная область).
Пример 2. Решить графически неравенство
х2 – у > 0.
Решение. Запишем неравенство в виде у < x2 .
Построим кривую у = х2 (парабола) (рисунок 4).
Решение неравенства есть координаты точек плоскости, которые лежат в заштрихованной области (ниже построенной параболы).
При решении систем неравенств с двумя переменными находят пересечение областей решений этих неравенств.
Пример 3.Решить графически систему неравенств
Решение. Решение первого неравенства системы есть координаты точек плоскости (рисунок 5), которые лежат вне окружности х+у=4; решение второго неравенства есть координаты точек верхней полуплоскости; решение третьего неравенства есть координаты точек правой полуплоскости.
Решением системы являются координаты точек, которые лежат в заштрихованной области.
1) Решить уравнение:
А) 0,
Б) 1,
В) Нет решений,
Г) xÎ (- ¥ ; 1)È (1; ¥ ).
2) Решить уравнение:
А ) Нет решений,
Б) - 1,
В) - 5,
Г) - 1; - 5.
3) Решить уравнение: s
А) - 2; ; 5,
Б) Нет решений,
В) xÎ (- ¥ ; 3)È (3; ¥ ),
Г) x Î R.
4) Решить уравнение: ax = 1.
А) Если a ¹ 0, то xÎ R; если a = 0, то нет решений,
Б) Если a = 0, то нет решений; если a ¹ 0, то x =1/a ,
В) Если a = 0 , то xÎ R; если a ¹ 0, то x =1/a .
Г) Нет решений.
А) - 4 < a < 0,
Б) 0 < a < 1,
В) aÎ (- ¥ ; 0)È (0; ¥ ),
Г) - 4 < a < 0; 0 < a < 1.
6) При каких a уравнение (a - 2)x2
А) 2,
Б) аÎ (- ¥ ; 2)È (2; ¥ ),
В) 5,
Г) - 4.
7) Решить уравнение: | x2 - 1| + | a(x - 1)| = 0.
А) Если a ¹ 0, то x =1; если a = 0, то x = ± 1,
Б) Если а ¹ 0, то нет решений; если a = 0, то x = 1.
В) x = ± 1,
8) Решить систему:
y2 - x - 5 = 0.
А) (4; 3), (4; - 3),
Б) (1; 2),
Г) xÎ R, y = ± 3.
9) Решить систему:
А) (1; - 1), (5; 5)
В) (1;1),
Г) (- 2; 3), (3; - 2).
10) При каких a неравенство 2x + a > 0 является следствием неравенства x + 1 - 3a > 0?
А)2/7 ,
Б) а ³2/7 ,
В) при любых a,
Г) а £2/7 .
11) Найти наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:
а) хÎ (-¥ ; -3,5),
б) –3,
в) –4,
г) нет решений.
12) Найти наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:
а)5,
в) 4,
г)нет решений.
13)Найти целочисленные решения неравенств:
а) 0, 1, 2,
б) 4, 5,
в) 7,
14) Найти целочисленные решения неравенств:
б) –3, -4, -5,
в) 5,6,
15) Решить неравенство:
а) (-¥ ; -3)È (0; 3,
б) (–3, 0)È (0; ¥ ),
в) (5; 7),
16) Решить неравенство:
а) (-¥ ; -3/25)È (0; ¥ ),
б) (–12, 0)È (7;9),
в) (-¥ ;)È ( ; 5),
.
а) (-9; -5)È (0; 8),
б) (–8, -7)È (1;3),
в) (-¥ ; -7)È (1; 3),
18) Решить неравенство:
а) [-4; -2)È (0;5],
б) (–1, 0]È [1;7),
в) (-4; -3)È [5; 7],
19) Решить неравенство
½ 1,5 – 3х½ < 3.
а) (-2,5; -2)È (0; 3,5],
б) (–0,5; 1,5),
в) (-4,5; -3,5),
20) Решить неравенство:
а) (-3; -1),
б) (0; 1),
в) (-7; -10),
Ответы: 1 - Г; 2 - В; 3 - В; 4 - Б; 5 - Г; 6 - В; 7 - А; 8 - А; 9 - В;10 – Б;
11 – В; 12 – А; 13 – А; 14 – В; 15 – А; 16 – В; 17 – Б; 18 – В; 19 – Б; 20 – А.
Страницы: 1, 2
