Рефераты. Реферат: Подборка основных формул по курсу функциональный анализ по материалам лекции Бекаревой Н.Д.

Реферат: Подборка основных формул по курсу функциональный анализ по материалам лекции Бекаревой Н.Д.

Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное
многообразие, плотное в E. (( (x(E (u: ?x-u?
Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует
хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного
подпространства.

Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного
пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из
конечномерного подпространства.

Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП L(E,
((((0,1) (z((E\L ?z(?=1 ((z(,L)>1-(

Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная
последовательность сходиться.

Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное
пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором
полном нормированном пространстве.

Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство,
полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует
единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном
подпространстве гильбертова пространства.

Определение: L плотное в E, если (x(E (u(L: ?x-u?
Теорема: Чтобы L было плотно в H ( ортогональное дополнение к L
состояло только из нулевого элемента.

Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее
некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов
ортогональных к элементам данного пространства.

Определение: Линейный оператор – отображение, для которого
A(ax+by)=aAx+bAy

Определение: Непрерывный оператор – Ax(Ax0 при x( x0

Определение: ((X,Y) – пространство линейных операторов

Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором
подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение: Ограниченный оператор - (?x??1 (с: ?Ax??c

Теорема: A – ограниченный ( (x(X ?Ax??c?x?

Теорема: Для того чтобы А был непрерывен ( чтобы он была ограничен

Теорема: {An} равномерно ограничена ( {An}- ограничена.

Теорема: {Anx} – ограниченно ( {?An?}- ограничена.

Определение: Сильная (равномерная) сходимость ?An-A?(0, n((,
обозначают An(A

Определение: Слабая сходимость - (x(X ?(An-A)x?Y(0, n((

Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость ( {An}
сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема: Банаха-Штенгауза An(A n(( слабо ( 1) {?An?}- ограничена 2)
An(A, x’(X, x’=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)(Y, D(A)(X ( ( A’:X(Y 1) A’x=Ax, x(D(A) 2)
?A’?=?A?

Определение: Равномерная ограниченность - (a (x: ?x(t)??a

Определение: Равностепенная непрерывность (t1,t2 ((: ?x(t1)-x(t2)?
Теорема: ((X,Y) полное, если Y – полное.

Определение: Ядро – Ax=0

Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов
X*:=((X,E)

Определение: Сопряженный оператор A*: Y*(X*

Теорема: Банаха A:X(Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда (
A-1 и ограничен.

Определение: Оператор А – обратимый

Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2)
R(A)=Y, 3) A-1-ограничен.

Теорема: A-1 ( и ограничен ( (m>0 (x(X ?Ax??m?x?

Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом
пространстве. Пусть f:X(Y – линейный ограниченный функционал ( (! y(H
(x(H f(x)=(x,y)

Определение: M(X называется бикомпактным, если из любой ограниченной
последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же
множества последовательность.

Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная
последовательность элементов содержит фундаментальную
подпоследовательность.

Теорема: Хаусдорфа. M(X компактно ( ((>0 ( конечная (-сеть

Теорема: Арцела. M(C[a,b] компактно ( все элементы множества
равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар
пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение: ((X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема: Шаудера. A(((X,Y) ( A*(((X*,Y*)

Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу