Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона.
1 C00
1 1 C10 C11
1 2 1 C20 C21 C22
1 3 3 1 C30 C31 C32 C33
1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44
1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55
1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1. Свойства треугольника Паскаля:
1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно
сумме двух соседних в предыдущей строке.
2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис-
лам.
3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре-
дыдущей сроке.
4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой.
Сmn=Cmm-n
2. Бином Ньютона.
(a+b) - двучлен (бином)
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2
и т.д. ;)
Свойства бинома Ньютона:
1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых.
2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны
между собой.
3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически:
n
(a + b)n = S Cnk.an-k.bk
k=0
4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.an-k.bk
5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n.
Метод математической индукции.
Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если:
1) Оно верно при n=1;
2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно
при n=k+1.
Комбинаторика: Размещения и перестановки.
Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю-
щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое-
динениями.
3 рода соединений:
1) Размещения
2) Перестеновки
3) Сочетания
Дано: (a,b,c) - 3 элемента.
по одному: a, b, c.
по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca.
по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba.
1). Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд-
ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m
------------¬
¦ m! ¦
¦Amn= ------+
¦ (m-n)!¦
L------------
2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются
перестановками.
------¬
¦Pm=m!¦
L------
2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на-
зываются сочетениями.
--------------¬ Свойства числа сочетний:
¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmm-n
¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1
¦ (m-n)!n!¦ 3) Cm0=1
L-------------- 4) C00=0!=1
Дифференцирование функций.
Производная функции
h=x-a - приращение аргумента
f(a+h) - f(a) - приращение функции
--------------------------------------¬
¦ f(a+h) - f(a) -
¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)-
¦ h->0 h -
+--------------------------------------
¦f(a+h)-f(a)=(k+a).h-
L--------------------
df = f'(x).dx - дифференциал функции.
Примеры:
1 1/(h+x)-1/x -h/(x(x+h))
1) f(x)=- ; f'(x) = lim ----------- = lim ----------- =
x h->0 h h->0 h
1 1
= lim ------- = ---
x(x+h) h2
|\\ 1
2) (x2)' = 2x; (ax+b)' = a; (? a )' = ---
2?x
(ax2 + bx + c)' = 2ax + b; (x3)' = 3x2
----------------¬
¦(axn)' = n.xn-1¦
L----------------
Техника дифференцирования.
(fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то-
(f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ-
( f )' f'g + fg' ке.
¦ - ¦ = ---------
9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ-
водная отрицательна.
(fn)' = nfn-1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про-
n|\\ 1 изводная положительна.
? f = -------- 3) Если производная равна нулю или не сущес-
n. n? f твует то в этих точках функция имеет локальные
экстремумы.
4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти:
а) Значение функции на краях промежутка;
б) Экстремумы функции на данном промежутке;
в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные.
Дифференцирование тригонометрических функций.
---------------¬ ----------¬
¦ Sin x ¦ ¦ tg x ¦
¦ Lim ----- = 1¦ ¦Lim ---- ¦
¦x->0 x ¦ ¦x->0 x ¦
L--------------- L----------
(Sin x)' = Cos x
(Cos x)' = -Sin x
(tg x)' = ----- ; (Ctg x)' = -----
Cos2x Sin2x
Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ".
" Исследование квадратного трехчлена "
Теорема 1. ---
--------- ¦ а > 0,
¦ D . 0,
¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0,
M < x1 , x2 <=> ¦ f(M) > 0, <=> Б D . 0,
=========== ¦ a < 0, 9 x0 > M.
¦ x0 > M,
¦ f(M) < 0
L--
Теорема 2. ---
---------- ¦ а > 0,
¦ x0 < b, ( a7f(b) > 0,
x1 , x2 < b <=> ¦ f(b) > 0, <=> Б D . 0,
=========== ¦ a < 0, 9 x0 < b.
¦ x0 < b,
¦ f(b) < 0
Теорема 3. ---
--------- ¦ ( а > 0,
¦ 2 D . 0, a7f(b) > 0
¦ Б M < x0 < b, a7f(M) > 0,
M < x1 , x2 < b <=> ¦ 2 f(M) > 0, <=> D . 0,
=============== ¦ 9 f(b) > 0, M < x0 < b
¦ ( a < 0,
¦ 2 D . 0,
¦ Б M < x0 < b,
¦ 2 f(b) < 0,
¦ 9 f(M) < 0
Теорема 4. ---
¦ Б f(M) > 0,
¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0
M < x1 < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) > 0,
=============== ¦ Б f(b) > 0,
Теорема 5. ---
¦ Б f(M) < 0,
¦ 9 f(b) > 0, a7f(b) > 0
x1 < M < x2 < b <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0,
=============== ¦ Б f(b) < 0,
¦ 9 f(M) > 0
Теорема 6. ---
---------- ¦ ( а > 0,
x1 < M < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0,
Теорема 7. ---
¦ f(M) < 0,
x1 < M < x2 <=> ¦ a < 0, <=> a7f(M) < 0,
=========== ¦ f(M) > 0
Числовая последовательность.
1). Числовая последовательность - такой ряд чисел, который занумеро-
ван с помощью натуральных чисел и обозначается {an} или (an) -
a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7...an
f(n) - закон, по которому каждому номеру соответствует свой член
последовательности. |\\ |\ |\
Последовательность называют возрастающей, если каждый член после-
довательности больше предыдущего, т.е.: если an+1>an, то (an)%.
Последовательность называется убывающей, если каждый член после-
довательности меньше предыдущего, т.е.: если an+1<an, то (an)^.
an , M => (an) - ограниченная сверху.
an . M => (an) - ограниченная снизу.
2). Арифметическая прогессия [_]
Арифметической прогрессией называют такой ряд чисел, в котором
каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и тоже
число, которое называется разностью прогрессий.
_ a1,a2,a3,a4...an
a2=a1+d; d - разность прогрессий
-------------¬
¦an=a1+(n-1)d¦- - формула любого члена арифметической прогрессии...
L--------------
Свойства членов арифметической прогресии:
1. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети-
ческое членов, с ним соседних: an=(an-1+an+1)/2
2. Суммы членов, равноудаленных от концов между собой равны между
собой: a1+an=a2+an-1=a3+an-2
3. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети-
ческое равноудаленных от него членов.
------------¬ ----------------¬
¦ (a1+an)n¦- ¦ 2a1+(n-1)d ¦
¦S_=--------+- ¦S_=----------.n¦
¦ 2 ¦- ¦ 2 ¦
L------------- L----------------
3). Геометрической прогрессией называется такой ряд чисел, в котором
каждый член, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно
и тоже число, которое называется знаменателем прогрессии.(q)
b2=b1.q; b2=b1.q2 и т.д.
¦bn=b1.q(n-1)¦- - формула лыбого члена арифметической прогрессии.
Свойства членов геометрической прогрессии:
|\\\\\\\\\\
1. bn=? bn-k.bn+k
2. b1.bn=bk.bn-k+1
2. Произведение n-членов геометрической прогрессии равно:
--------------------------¬
¦ |\\\\\\\ |\\\\\\\\\¦
¦P=?(b1.bn)n = ?(b12qn-1)n¦
L--------------------------
4. Сумма n-членов геометрической прогрессии равна:
bnq-b1 b1(qn-1)
S=------ = --------
q-1 q-1
1
lq9m.pdr 2 1
Основные формулы сокращенного умножения.
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b4 + ... +bn-1)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
a4 + b2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
|\\\\\\\\\ |\\\\\\\\\
/ A + ?A-B / A + ?A-B
A + B = /---------- + /----------
? 2 ? 2
|\\ |\\ |\\ |\\
a - b = (? a - ? b )(? a + ? b )
|\\ |\\ 3|\\ |\\\ 3|\\
a - b = ((? a - ? b )(? a2 + ? ab + ? b2)
|\\ --> a, если a . 0!
? a2 = ¦a¦-+
L->-a, если a < 0!
Сумма углов выпуклого многоугольника: 180(n - 2)
Формула Герона S = ?p(p - a)(p - b)(p - c)
Правильный многоугольник:
an = 2r.tg(180/n) = 2R.Sin(180/n)
Sn = p.r = 0,5.PR.Cos(180/n)
--------------------------
Sквадрата = a.b abc
Sтреугольника = 0,5.ah = 0,5.ab.Sin a = ---
4R
d1.d2
Sпараллелограма = ab.Sin a = ----- = a.ha
2
Sтрапеции = 0,5.(a + b) = ch (c - средняя линия)
Преобразования на плоскости.
Осевая симметрия - движение при котором сохраняется расстояние.
Sl(ABC) = A1B1C1 (относительно прямой l)
Центральная симметрия - движение относительно точки,
при котором сохраняется расстояние
ZO(ABCD) = A1B1C1D1 (относительно точки О)
Параллельный перенос (П[вектор]
Поворот - R[угол][точка]
Гомотетия - увеличение или уменьшение H[коэфициент][точка]
Правила действия над тригонометрическими функциями.
г==============================T==============================¬
¦y=Sin a- функция ограниченная ¦y=Cos a- функция ограниченная ¦
¦ + ¦ + ¦ - ¦ + ¦
¦-1 , Sin a , 1 ----+---- ¦-1 , Cos a , 1 ----+---- ¦
¦ - ¦ - ¦ - ¦ + ¦
¦==============================¦==============================¦
¦y=tg a ; y=Ctg a- неограниченные функции ¦
¦ - ¦ + ¦
¦ ----+---- ¦
¦ + ¦ - ¦
L=============================================================-
360 = 2p ; 180 = p ; 90 = 0,5p ;Длинна дуги равна произведению
p p p её радианного измерения на ра-
60 = - ; 45 = - ; 30 = - диус
3 4 6
Cокружности = 2pR
Основные тригонометрические тождества:
q 1.Sin2a + Cos2a = 1
Sin a Cos a
2.tg a = ----- ; Ctg a = -----
Cos a Sin a
3.tg a * Ctg a = 1
4.1 + tg2a = ----- ; 1 + Ctg a = -----
Cos2a Sin2a
Правило формул превидения
Какой знак: Ставим тот знак, который имеет функция в данной четверти.
Какая функция: Если угол откладывается от горизонтального диаметра то
функция не меняется. Если угол откладывается то вертикального диаметра
то функция меняется на созвучную.( Sin a на Cos a ; tg a на Ctg a)
----------------------------------T---------------------------------¬
¦Cos(a-b) = Cosa*Cosb + Sina*Sinb ¦ Cos(a+b) = Cosa*Cosb - Sina*Sinb¦
+---------------------------------+---------------------------------+
¦Sin(a-b) = Sina*Cosb - Cosa*Sinb ¦ Sin(a+b) = Sina*Cosb + Cosa*Sinb¦
+-----------------------T---------+--------------T-------------------
¦ tg a - tg b ¦ tg a + tg b ¦
¦tg(a-b) = ----------- ¦ tg(a+b) = ----------- ¦
¦ 1 + tga*tgb ¦ 1 - tga*tgb ¦
+-----------------------+-T----------------------+----¬
¦ Ctga*ctgb + 1 ¦ Ctga*ctgb - 1 ¦
¦Ctg(a-b) =-------------- ¦ Ctg(a+b) = ------------- ¦
¦ Ctg a - ctg b ¦ Ctg a + ctg b ¦
+-----------------------T-+---------------------T------
¦Sin 2a = 2*Sin a*Cos a ¦ Cos2a = Cos2a - Sin2a ¦
+-----------------T-----+--------------T---------
¦ 2*tg a ¦ Ctg2a - 1 ¦
¦tg 2a = -------- ¦ Ctg 2a = --------- ¦
¦ 1 - tg2a ¦ 2*Ctg a ¦
L-----------------+---------------------
Sin a * Cos b = 0,5*[Sin(a-b) + Sin(a+b)]
Sin x + Sin y = 2Sin 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y)
Sin x - Sin y = 2Cos 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y)
Cos x + Cos y = 2Cos 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y)
Cos x - Cos y = -2 Sin 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y)
Cos a * Cos b = 0,5[Cos(a-b) + Cos(a+b)]
Sin a * Sin b = 0,5[Cos(a-b) - Cos(a+b)]
---------------------------T---------------------------------¬
¦ Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦
¦tg x - tg y = ----------- ¦ tg x + tg y = ----------- ¦
¦ Cos x Cos y ¦ Cos x Cos y ¦
+--------------------------+--T------------------------------+
¦Ctg x - Ctg y = ------------ ¦ Ctg x + Ctg y = ----------- ¦
¦ Sin x Sin y ¦ Sin x Sin y ¦
L-----------------------------+-------------------------------
Sin 3x = 3Sin x - 4Sin3x 2tg x
Cos 3x = 4Cos3x - 3Cos x Sin 2x = ---------
/1 + Cos 2x 2tg2x + 1
¦Cos x¦ = / ----------
? 2 . 1 + tg2x
/1 - Cos 2x Cos 2x = --------
¦Sin x¦ = / ---------- 1 - tg2x
? 2 .
/ 1 - Cos 2x 2tg x
¦tg x¦ = / ----------- tg 2x = --------
? 1 + Cos 2x 1 - tg2x
1. Решение тригонометрических уравнений.
Sin x = m ==> x = (-1)n7arcsin m + pn, n Z.
Cos x = m ==> x = + arccos m + 2pn, n Z.
tg x = m ==> x = arctg m + pn, n Z.
ctg x = m ==> x = arcctg m + pn, n Z.
2. Равенство одноименных функций.
Sin t = Sin a ==> t = (-1)ka + kp, k Z.
Cos t = Cos a ==> t = + a + 2kp, k Z.
tg t = tg a ==> t = a + kp, k Z.
3. Универсальная подcтaновка.
t t
2tg --- 1 - tg2 ---
2 2 t
Sin t = ------------ ; Cos t = ------------- ; tg --- = Z.
t t 2
1 + tg2 --- 1 + tg2 ---
2 2
4. Функции кратных аргументов.
--
¦ Cos2x = Cos2x - Sin2x.
(a+b)2=a2+2ab+b2 ===> ¦
¦ Sin2x = 2Cosx7Sinx.
L-
¦ Cos3x = Cos3x - 3Cosx7Sin2x.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ===> ¦
¦ Sin3x = 3Cos2x7Sinx - Sin3x.
¦ Cos4x=Cos4x-6Cos2x7Sin2x+Sin4x.
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ===> ¦
¦ Sin4x=4Cos3x7Sinx-4Cosx7Sin3x.
5. Дополнительно.
Cos (n+1)7x = 2Cosx7Cos(nx) - Cos(n-1)x.
Sin 5a = 16Sin5a - 20Sin3a + 5Sina.
Sin 7a = -64Sina7 + 112Sin5a - 56Sin3a + 7Sina =
= Sina7(64Cos6a - 80Cos4a + 24Cos2a - 1).
