Обозначим через
 длину  очереди в накопителе
по потоку
 в момент
,
. Для состояний ОУ предполагаем, что
. Случайный точечный процесс
 при
определяется рекуррентным соотношением          

                                        
 (3)

где
 - отображение множества
 на числовое множество
 такое, что
. Будем называть
 длительностью фазы (состояния)
 обслуживающего устройства, а величину
 длительностью периода ОУ.

4. Потоки насыщения и выбор стратегии механизма обслуживания.

            Обозначим через
, максимально возможное число обслуженных на интервале времени
 требований потока
 при наличии в накопителе 
   бесконечной очереди. Тогда соответствующий поток насыщения
 может быть описан с помощью маркированного точечного процесса
, где
 метка обслуженных заявок на интервале
. Интерпритировать подобное описание
 можно как влияние погодных условий (состояния случайной среды) на механизм обслуживания. Более подробно этот процесс будет рассмотрен ниже.  Мы не будем задавать конечномерные распределения маркированных точечных процессов
 и
 поскольку при нелокальном описании входных потоков и потоков насыщения можно ограничеться некоторыми свойствами  условных распределений дискретных компонент 
  и
.

Допустим, что величина 
 задает на промежутке
 число фактически обслуженных заявок потока
.  Для описания  реального процесса обслуживания нужно при любом
 и каждом
 указать зависимость                

                                             
             (4)

то есть некоторую стратегию 
   механизма обслуживания. На выбор функции (4) естественно наложить следующие ограничения:

                                             
;

                                             
;

Откуда получим:

                                             
; (5)

Автомат, как правило, за промежуток времени
 обслуживает максимально возможное число машин
 из потока
или все поступающие и находящиеся в очереди машины этого потока, если их число меньше
.

Тогда  зависимость (4) будет иметь вид:

 (6)

Такая стратегия механизма обслуживания, учитывая (5), называется экстремальной.

5. Рекуррентные соотношения для маркированного точечного процесса обслуживания.  Свойства условных распределений  для дискретных компонент
, соответствующих входным потокам и потокам насыщения.

            Будем описывать поведение системы маркированным точечным процессом 
 с выделенной  дискретной компонентой 
,  где
 - вектор  длин очередей  по потокам в момент
.  Для процесса 
 основываясь на равенствах (1)-(3), имеет место  следующее рекуррентное соотношение:       

 (7)

где
,
,
.  Здесь векторное соотношение
 предполагает  выполнение равенств  
   при 
.  Принимая во внимание  выбранную нами экстремальную стратегию обслуживания
, имеем:
                                     

Для изучения  вероятностных  свойств метки
 остановимся на некоторых свойствах условных распределений величин
 и
. Полагаем что в этой модели при фиксированных значениях метки
 случайные величины
и
 независимы и их условные распределения при любом
 и при
 удовлетворяют соотношениям:

;      (8.1)


                     (8.2)

 (9)

где
 - целая часть величины 

, а
,
- средняя интенсивность обслуживания заявок по потоку
если случайная среда на интервале
 находится в состоянии
, здесь
- интенсивность пуассоновского поступления заявок  по  потоку
,        
,        
,
- параметры распределения Бартлетта,
 - целая часть величины
.

6. Марковское свойство компоненты
.

            Итак, мы определили все компоненты нашей модели: входные потоки, алгоритм управления, потоки насыщения и  экстремальную стратегию механизма обслуживания.  В соответствии со структурой анализируемой системы управления 3 конфликтными потоками требований, максимальный интерес представляет исследование процессов обслуживания по потокам
 и
. Ключевое свойство дискретной компоненты процесса
 можно сформулировать в виде следующей теоремы:                                                 

Теорема: Последовательности
,
и
  при заданном распределении вектора
  являются марковскими.               

Доказательство:  Докажем правильность утверждения для последовательности
.  Сообразно определению, данная последовательность будет марковской,  если  выполнено равенство   
   

                 Где 

Применяя формулу полной вероятности и принятые в данной модели основные свойства ее случайных элементов, получим:

для правой части доказываемого равенства из тех же соображений получим           

Т.е. доказываемое равенство имеет место. Стало быть, случайная  последовательность 
образует  цепь Маркова с бесконечным счетным числом  состояний.

Аналогично доказывается марковость последовательностей 
 и
. 

7. Рекуррентные формулы для одномерных распределений дискретной компоненты маркированного точечного процесса
.

            Исследуем свойства одномерных распределений

Здесь начальное распределение
 считается заданным. Получим рекурентные соотношения вида
, где
 - бесконечномерная матрица переходных вероятностей за один шаг процесса
. Подробно рассмотрим  вероятностные свойства последовательностей
 и
. Из (7) нетрудно получить следующие, реккурентные по
 соотношения для этих последовательностей:

            Заметим  что исследование последовательностей
 и
, проводятся аналогично.

            Введём следующие обозначения:

На основании доказанного свойства марковости рассматриваемых последовательностей и формулы полной вероятности можно видеть что имеют место формулы:

 (10)

где суммирование ведётся по

Теперь вычислим условные вероятности:

Окончательно формула (10) примет вид:

Здесь суммрование ведётся по всем точкам

Учитывая вид условных распределений для
  (8.1)-(9), нетрудно получить конкретный вид рекурентных формул для одномерных распределений дискретной компоненты
. Подробно приведём только вывод формулы для вероятностей
 при
.

Используя формулу (11), учитывая что  при
 на интервалах времени
 ни один из потоков не обслуживается, получим для
.

где полагаем при
.

Вероятности
, образуют матрицу

Далее через
 мыбудем обозначать соответственно целые части величин
, где
 -интенсивность обслуживания по потоку
 , если случайная среда находится в состоянии
.

Поскольку при
 обслуживаются только требования потока
,

рекуррентные соотношения для вероятностей
 при


получаются в виде:

(13)

(14)

Так как при
 происходит обслуживание требований только по потоку
, то при
 получим, что
 при всех
 и
, а при
 имеем:

(15)

а при любых
:

(16)

Наконец для вероятностей
 имеем
 при любом
, 
,
.

(17)

а при любых
,
.

(18)

Заметим, что поскольку вероятности
 для
,
,
 то из (12) непосредственно следует, что
 при всех для
,
,
.

Уточним теперь структуру цепи Маркова
. Обозначим через
. Сформулируем и докажем два вспомогательных утверждения, касающихся общей структуры цепи и асимптотического поведения распределения рассматриваемой цепи Маркова при
.

Лемма 1. Пространство
 состояний цепи Маркова
 распадается на незамкнутое множество
 несущественных состояний  и минимально замкнутое множество
 существенных сообщающихся непериодических состояний.

Доказательство.   Из  того, что
 и
 для всех
, следует что случайный процесс
 за некоторое конечное число шагов из произвольного состояния
 с положительной вероятностью по цепочке
 попадёт в состояние
. Следовательно состояние
 является существенным. Согласно теореме 3.5 из /7/ совокупность состояний цепи, сообщающихся с
 также является существенным. Используя полученные нами рекурентные соотношения (12)-(18) и приведённые выше замечания нетрудно видеть, что множество

Покажем, что
 не содержит других состояний, кроме отмеченных. Возьмём, к примеру, состояние
 где
. Тогда по цепочке переходов
 цепь Маркова
 перейдёт из существенного состояния
 в состояние
. Следовательно, состояние
 является существенным и сообщающимся с
. Указанный переход возможен  с положительной вероятностью, поскольку 
 и
. Аналогично доказывается, что возможен переход из
 или
 в любое другое состояние, не принадлежащие множеству
. Значит
. Поскольку состояние
 достижимо из  любого состояния
, то множество
 не является замкнутым, а
 содержит единственное  замкнутое минимальное
. Из очевидного неравенства

следует, что все состояния из будут непериодическими (/8/ стр. 408). Лемма доказана.

Лемма 2. При любом начальном распределении
 векторной цепи Маркова
 либо для всех
 :

 
 и в системе не существует стационарного распределения, либо существуют пределы:

такие, что
, и всистеме существует стационарное распределение.

Доказательство.  Из  структуры множества
 и из того, что
 следует, что векторный случайный процесс
 из произвольного состояния
 с положительной вероятностью, не меньшей, чем
, за один шаг может достигнуть множества
. Обозначим через
 вероятность того, что рассматриваемая цепь Маркова исходя из произвольного несущественного состояния
 когда-либо достигнет некоторого существенного состояния из
. Известно, что величины
 
, являются решениями системы уравнений вида (8.6), приведённой в /8/ на стр. 392. Тогда, в силу неравенства
 и леммы 1, эта система является вполне регулярной и имеет ограниченное решение
,
. В этом можно убедиться непосредсвенной подстановкой. По теореме 11 из /9/ это решение будет единственным. Отсюда на основании эргодической теоремы  в главе 15 из /8/ получим утверждение доказываемой леммы.

Итак, ассимптотическое поведение одномерного распределения
 случайного векторного процесса
 при
 не зависит от начального распределения
.

Заключение.

            В конце этой (весьма краткой) работы хочется подвести итог того, что нами было уже сделано:

Ø      Была дана общая характеристика случайной среды, системы управления, приведена её функциональная схема;

Ø      На содержательном уровне  дано определение конфликтности и потоков насыщения системы;

Ø      Приведено математическое описание  составляющих элементов системы и построен маркированный случайный точечный процесс, моделирующий динамическое поведение системы;

Ø      Была доказана теорема марковости выделенной дискретной компоненты процесса
.

Ø      Выведены рекуррентные формулы для одномерных распределений дискретной компоненты маркированного точечного процесса
.

Литература.

       1.         Куделин А.Н. Модель управления конфликтными потоками в случайной среде: “Теория вероятностей и математическая статистика. Диссертация  на соискание  уч. степени  кандидата ф.-м.н”.

       2.         Бронштейн О.И. Рыков В.В.,  Об  оптимальных  дисциплинах обслуживания в управляемых системах // В сборн. "Управление производством",  Тр. III Всесоюзн. совещ. по автоматическому  управлению.  Техническая кибернетика.- 1965.- М.: "Наука", 1967.

       3.          Рыков В.В. Управляемые системы массового обслуживания // Сборн. "Итоги науки. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. ВИНИТИ АН СССР".

       4.         Файнберг М.А., Файнберг Е.А.  Управление в системах массового  обслуживания // "Зарубежная  радиоэлектроника".

       5.         Федоткин М.А.   Теория  дискретных систем  с переменной структурой  обслуживания  квазигенерирующих  потоков  : "Теория вероятностей и математическая статистика.  Диссертация  на соискание  уч. степени  доктора ф.-м.н.".

       6.         Федоткин М.А.  Неполное  описание  потоков неоднородных требований. -"Теория массов. обслуж."

       7.         Чжун К.Л. Однородные цепи Маркова. –М.: Мир, 1964.

       8.         Феллер В. введение в теорию вероятностей и её приложения. Т.1, - М.: Мир, 1967.

       9.         Кантарович Л.В., Крылов В.И. Приблежённые методы высшего анализа. – М. –Л.: 'ГИФМЛ', 1962.

Страницы: 1, 2, 3