10. Неформальное понятие алгоритма (последовательность инструкций для выполнения действия).
20. Машина с неограниченными регистрами (МНР).
30 Машина Тьюринга – Поста (МТ-П).
40 Нормальные алгоритмы Маркова (НАМ).
1.1.1 Машина с неограниченными регистрами (МНР).
Имеется некое устройство, в котором счетное число ячеек памяти (регистров), в которых хранятся целые числа.
Допустимые команды:
Z(n) - обнуление регистра Rn.
S(n) - увеличение числа в регистре Rn на 1.
T(m,n) - копирует содержимое Rm в регистор Rn.
I(p,q,n) - если содержимое Rp = Rq то выполняется команда с номером n , если нет следующая.
Программа для МНР должна быть последовательностью команд Z, S, T, I с определенным порядком, выполняемые последовательно.
Тезис Черча (Churcha): Первое и второе определение алгоритма эквивалентны между собой. Любой неформальный алгоритм может быть представлен в программе для МНР.
1.1.2 Машина Тьюринга - Поста.
Имеется устройство просматривающее бесконечную ленту, где есть ячейки содержащие элементы алфавита: , где - пустой символ (пустое слово), который может принадлежать и не принадлежать А. Также существует управляющая головка (устройство) (УУ)/(УГ), которая в начальный момент расположена в определенном месте, в состоянии . Также существуют внутренние состояния машины:
Слово в данном алфавите - любая конечная упорядоченная последовательность букв данного алфавита, притом длина слова это количество букв в нем (у пустого слова длина 0).
1) ,где .
2) (остановка программы).
Последовательность команд называется программой, если в этой последовательности не встречается команд с одинаковыми левыми частями. Машина останавливается если она не находит команды с левой частью подобной текущей.
1.1.3 Нормальные алгоритмы Маркова.
Тип машины перерабатывающий слова, в которой существует некий алфавит , для которого W - множество всех слов.
Допустимые команды: (Для машин этого типа важна последовательность команд.)
где
Пример:
Программа:
1.1.4 Реализация функции натурального переменного.
но мы допускаем не всюду определенную функцию.
то это означает, что
притом , если f не определена, то и программа не должна ничего выдавать.
( , а числа представляются в виде ,например .)
1.2.1 Теорема об эквивалентности понятия вычислимой функции.
вычислима: ()
Использование НАМ:
Теор.: Классы функций вычислимых на МТ-П, с помощью НАМ и с помощью МНР совпадают.
Пусть которая вычисляется на МТ-П, вычислим её на НАМ.
МТ-П:
НАМ:
Команда МТП: преобразуется по правилам:
Команда МТП:
2.1.1 Декартово произведение
- мн-во всевозможных упорядоченных пар элементов из А и В.
2.1.2 Декартова степень произвольного множества.
Опр: - множество всевозможных упорядоченных наборов длины n , элементов множества А.
2.1.3 Определение булевой функции от n переменных.
Любое отображение - называется булевой функцией от n переменных, притом множество
2.1.4 Примеры булевой функции.
2.1.5 Основные булевы тождества.
2.2.1 Основные определения.
- конечный алфавит из переменных.
Рассмотрим слово:
Экспоненциальные обозначения:
- элемент конъюнкции.
S – длина элемента конъюнкции.
ДНФ – дизъюнкция нескольких различных элементарных конъюнкций.
Любая булева функция может быть представлена как ДНФ
2.2.2 Теорема о совершенной ДНФ.
Любая булева функция тождественно не равная 0 может быть разложена в ДНФ следующего вида:
Опр: Носитель булевой функции
.
Лемма:
а)
б)
Доказательство: , будем доказывать, что.
Следовательно
2.2.3 Некоторые другие виды ДНФ.
Опр: - называется минимальной ДНФ, если она имеет - наименьшую возможную длину из всех ДНФ данной функции.
Опр: - называется тупиковой ДНФ, если из неё нельзя выбросить ни одного слагаемого с сохранением булевой функции.
(Легко понять, что любая минимальная ДНФ является тупиковой, а обратное не верно.)
Опр: К-мерной гранью называется такое подмножество , которая является носителем некоторой элементарной конъюнкции длины: n-k.
Опр: Предположим дана функция и есть . Грань называется отмеченной, если она целиком содержится в носителе Т.
Опр: Максимальная грань – это такая грань, которая не содержится ни в какой грани более высокой размерности.
Предложение: Любую отмеченную грань можно вложить в максимальную грань.
Предложение:
(Носитель любой функции можно разложить в объединение нескольких граней разной размерностей)
Предложение: Носитель любой функции разлагается в объединение всех своих максимальных граней.
Опр: Элементарная конъюнкция называется минимальной, если её носитель является максимальной гранью. Следовательно всякая булева функция разлагается в дизъюнкцию всех своих элементарных конъюнкций.
Опр: Сокращенная ДНФ – разложение данной булевой функции в соответствующие ДНФ, которые соответствуют объединению её максимальных граней.
Теор: Минимальная ДНФ может быть получена из сокращенной отбрасыванием некоторого количества слагаемых, возможно пустого.
3.1.1 Определения.
Опр: V – словом в алфавите А, называется любая конечная упорядоченная последовательность его букв.
Опр: Формативная последовательность слов – конечная последовательность слов и высказываний , если они имеют формат вида:
Опр: F – формулой ИВ, называется любое слово, входящее в какую-нибудь формативную последовательность.
Опр: Аксиомы – специально выделенное подмножество формул.
Reg – правила вывода ИВ (некоторые правила преобразования первого слова в другое).
a – символ переменной
- произвольное слово ИВ (формула)
Отображение действует так, что на место каждого вхождения символа а , пишется слово .
Правило modus ponens:
3.1.2 Формальный вывод.(простейшая модель доказательства теоремы)
Опр: Последовательность формул ИВ, называется формальным выводом, если каждая формула этой последовательности имеет следующий вид:
Опр: Выводимый формулой (теоремой) ИВ называется любая формула входящая в какой-нибудь формальный вывод. - выводимая формула ИВ.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Замечание: Если формула выводима, то выводима и
Возьмем формативную последовательность вывода и добавим в неё , получившаяся последовательность является формальным выводом.
(Если выводима то если , то выводима )
Теор: Если выводимая формула , то ( - различные символы переменных) выводима
Выберем - символы переменных которые различны между собой и не входят не в одну из формул , сделаем подстановку и последовательно применим и в новом слове делаем последовательную подстановку: , где - является формальным выводом.
3.1.3 Формальный вывод из гипотез.
Опр: Формальным выводом из гипотез (формулы), называется такая последовательность слов , каждая из которых удовлетворяет условию:
если формулу можно включить в некоторый формальный вывод из гипотез .
Лемма: ; : то тогда
Напишем список:
Док:
3.1.4 Теорема Дедукции.
Если из
2б) - уже выводили , ч.т.д.
Базис индукции: N=1 - формальный вывод из длинного списка
(только что доказано), осуществим переход по индукции:
по индукции
и по лемме 2
по теореме дедукции
3.2.1 Формулировка теоремы.
- тавтология
при любой интерпретации алфавита (символов переменных)
3.2.2 Понятие интерпретации.
символ переменной переменную поставим в соответствие.
, где - проекция на .
Где:
3.2.3 Доказательство теоремы.
3.3.1 Определение.
ИВ непротиворечиво, если оно не является противоречивым.
Теорема: ИВ является непротиворечивым исчислением по отношению к любому из трех определений.
Док-во: (1) Если , то соответствующая ей булева функция будет тождественно равна 1.
(2) Если любая формула выводима, то выводима и А, что соответствует пункту 1.
(3) Пусть и - булева функция
- противоречие.
Алфавит – конечное или счетное множество символов, возможно, разбитых на группы. Алфавит должен быть упорядоченным множеством.
Слово – конечная упорядоченная последовательность символов алфавита, в т.ч. пустое слово.
V – множество всех слов.
Вычислимая функция от нескольких натуральных переменных
( f – может быть не всюду определенной )
f – называется вычислимой, если такая машина Тьюринга, которая её вычисляет.
- разрешимое множество, если характеристическая функция
- является вычислимой.
Множество называется перечислимым, если такая вычислимая функция
М - разрешимо М и N \M перечислимы.
М – перечислимо М – область определения некоторой вычислимой функции.
Множество всех формул F – некоторое разрешимое подмножество V.
Т – счетное множество, если его биективное отображение на V.
- обозначение счетного множества. ( - алеф-нуль)
Если и зафиксировано биективное и вычислимое отображение (вычис.),
то L – ансамбль.
V – ансамбль (слова лексикографически упорядочены и занумерованы)
Определение: В произвольном формальном исчислении: - множество всех аксиом – разрешимое подмножество множества всех формул.
Правило вывода:
,при разрешимо. Для ИВ N=2.
(пустое слово) ,
1 и 2 – формальные выводы.
3 – не является формальным выводом.
- высказывание, содержащее переменную.
- предметная область предиката.
Пусть А – множество объектов произвольной природы (предметная область предиката).
-местный предикат – произвольное отображение
Множество истинности данного предиката
- - характеристическая функция от x на множестве А - совпадает с предикатами
k – связанная переменная
n – свободная переменная
t – свободная, x – связанная.
, a,b,y – свободные переменные, x – связанная.
- ортогональная проекция на ось x
Пронесение отрицания через кванторы
Геометрическое 'доказательство':
не обладает свойством, что прямая целиком лежит в
ч.т.д.
