Рефераты. Реферат: Геометрическая прогрессия

Реферат: Геометрическая прогрессия

Ставропольский Государственный Университет

РЕФЕРАТ

по теме:

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ

ПРОГРЕССИЯ

работу
выполнил:

студент
Ставропольского

Государственного Университета

IV курса,
Физ-Мат Факультета,

отделения
МИИТ, гр. ”Б”

Неботов Виталий
Дмитриевич

Ставрополь 1997 г.

СОДЕРЖАНИЕ :

Стр.

1. Вступительное
слово...................................................................
.................3

2. Определение геометрической
прогрессии..................................................3

3. Свойства геометрической
прогрессии.........................................................3

4. Сумма геометрической
прогрессии.............................................................4

5.
Заключение..............................................................
......................................5

6. Список использованной
литературы............................................................6

Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в
школьном курсе алгебры, но и (как я мог убедится) в дальнейшем обучении
в высших учебных заведениях. Важность этого на первый взгляд небольшого
раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях
применения, в частности он часто применяется в теории рядов,
рассматриваемой на II-III курсах университета. Поэтому мне кажется
крайне важным дать здесь полное описание этого курса, дабы внимательный
читатель мог повторить уже известный ему (надеюсь - прим. автора) из
школьного курса материал, или даже почерпнуть много нового и
интересного.

Прежде всего необходимо дать определение геометрической прогрессии, ибо
не определившись о предмете разговора невозможно продолжать сам
разговор. Итак: числовая последовательность, первый член которой отличен
от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену,
умноженному на одно и тоже не равное нулю число, называется
геометрической прогрессией.

Внесу некоторую ясность в данное выше определение: во-первых, мы требуем
от первого члена неравенства нулю для того, что при умножении его на
любое число мы в результате снова получим ноль, для третьего члена опять
ноль, и так далее. Получается последовательность нулей, которая не
попадает под данное выше определение геометрической прогрессии и не
будет являться предметом нашего дальнейшего рассмотрения.

Во-вторых, число на которое умножаются члены прогрессии опять же не
должно быть равно нулю, по вышеизложенным причинам.

В-третьих, предоставляю возможность вдумчивому читателю самому найти
ответ на вопрос, почему мы умножаем все члены прогрессии на одно и тоже
число, а не, скажем, на разные. Ответ не так прост, как может показаться
вначале.

Далее, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение
любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е.
b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется
знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

Несколько слов необходимо сказать и о способах задания геометрической
прогрессии. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (bn),
достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Например, условиями
b1 = 2, q = -5 (q < 0) задается геометрическая прогрессия 2, -10, 50,
-250, ... . Эта прогрессия не является ни возрастающей ни убывающей
последовательностью.

Следует заметить, что: последовательность называется возрастающей
(убывающей) если каждый последующий член последовательности больше
(меньше) предыдущего.

1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть,
например, b1 = -3, q = 4, тогда геометрическая прогрессия -3, -12, -48,
-192, ... есть монотонно убывающая последовательность.

Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом
случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим
свойством. Это свойство является следствием самого правила задания
геометрической прогрессии: последовательность (bn) является
геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член,
начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов,
т. е.

.

Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической
прогрессии если известны два рядом стоящие.

Для нахождения n-ного члена геометрической прогрессии есть еще одна
формула. Для того чтобы найти любой член геометрической прогрессии
необходимо, чтобы она была задана, т. е. были известны значения b1 и q:

.

Так как геометрическая прогрессия это числовая последовательность, то мы
можем найти ее сумму. Для нахождения суммы геометрической прогрессии
применяют следующую формулу:

Если в данную формулу подставить вместо bn его выражение в виде b1qn-1,
то получим еще одну формулу для вычисления суммы геометрической
прогрессии:

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из
определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn =
b2bn-1 = ..., т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов
прогрессии, есть величина постоянная.

.

Найти эту сумму можно по следующей формуле:

Заканчивая описание геометрической прогрессии хочется лишний раз
повторить, что за видимой простотой геометрической прогрессии скрывается
большой прикладной потенциал этого раздела алгебры.

Список использованной литературы:

1. В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс

алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.

2. С. А. Теляковский, Алгебра, учебник для 8 класса средней школы,

Москва, Просвещение, 1987 г.

3. Личные заметки и наблюдения автора.