Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…
Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.
В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:
Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.
Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.
Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.
Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.
Одно из основных понятий математики – множество.
Определение:
Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.
Множество обозначают: M,N …..
m1, m2, mn – элементы множества.
A Î M – принадлежность элемента к множеству;
А Ï М – непринадлежность элемента к множеству.
Примеры числовых множеств:
1,2,3,… множество натуральных чисел N;
…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.
множество рациональных чисел а.
I – множество иррациональных чисел.
R – множество действительных чисел.
K – множество комплексных чисел.
Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.
А Í В – А подмножество В (нестрогое включение)
Множества А и В равны, если их элементы совпадают.
A = B
Если А Í В и А ¹ В то А Ì В (строгое включение).
Множества бывают конечные и бесконечные.
|М| - мощность множества (число его элементов).
Конечное множество имеет конечное количество элементов.
Пустое множество не содержит элементов: M = Æ .
Пример: пустое множество:
1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = Æ .
2) множество D , сумма углов которого ¹ 1800 пустое: M = Æ .
Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.
Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …
Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n.
Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.
Множество можно задать:
А È В
Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.
Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.
Объединение двух множеств
Объединение трех множеств:
Объединение системы множеств можно записать
- объединение системы n множеств.
Пример: объединение множеств, когда они
заданы списком.
A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}
2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.
A Ç B
Пересечение системы множеств:
С = А \ В
A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.
В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;
2) не коммутативна, т.е. A\B ¹ B\A.
4) дополнение
E – универсальное множество.
-- дополнение
Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.
Некоторые свойства È , Ç похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.
1,2,3 – есть аналог в алгебре.
3.а) Æ \ A = Æ - нет аналога.
5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.
Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎ А, bÎ B.
С=AхВ, если А=В то С=А2.
Прямыми “х” n множеств A1x,…,xAn называется множество векторов (a1,…an) таких, что a1Î A1,…, AnÎ An.
Через теорию множеств введем понятие функции.
Подмножество FÎ Mx x My называется функцией, если для каждого элемента хÎ Mx найдется yÎ Му не более одного.
(x;y)Î F, y=F(x).
Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:
Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎ MX соответствует 1 элемент yÎ MY и обратное справедливо.
Пример: 1) (х,у) в круге
x=2 à y=2
y=2 à x=2..4
не взаимнооднозначное соответствие.
2) x = sinx
Rà R
Пусть даны две функции f: Aà B и g: Bà C, то функция y:Aà C называется композицией функций f и g.
Y=f o g o – композиция.
Способы задания функций:
Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.
Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!
Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.
Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.
Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2|A|=2n.
Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.
Множество N2 – счетно.
Доказательство
Разобьем N2 на классы
Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)}
К i-му классу Ni (a+b=i+1
Каждый класс будет содержать i пар.
Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.
Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2.
Аналогично доказывается счетность множеств N3,…,Nk.
Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.
Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.
Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3
b1 ¹ a11, b2 ¹ a22, …
Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].
Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.
Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.
Пусть дано RÍ Mn – n местное отношение на множество М.
Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b.
Проведем отношение на множество N:
А) отношение £ выполняется для пар (7,9) (7,7_
Б) (9,7) не выполняется.
Пример отношения на множество R
А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö 21)
Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.
Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.
Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.
Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна
Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства.
Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai тогда и только тогда, когда ajRai обозначают R-1.
1.Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу
если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное
главная диагональ содержит нули
Пр. отношнний
£ рефлексивное
< антирефлексивное
2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы
сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.
Пр. Если а £ b и b £ a ==> a=b
3. Если дано " a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.
4.Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пр. отношение равенства E
5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,
антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,
если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Пр. а) отношение £ u ³ для чисел отношение нестрогого
б) отношение < u > для чисел отношение строгого
Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = {j 1,…, j m}, т.е. система А = {М1;j 1,…, j m} называется алгеброй. W - сигнатура.
Если M1Ì M и если значения j ( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;j 1,…, j m} подалгебра A.
Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и
поэтому тип этой алгебры (2;2)
Р. Свойства бинарных алгебраических операций
запись aj b.
1. (aj b)j c=aj (bj c) – ассоциативная операция
Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно
2. aj b = bj a – коммутативная операция
Пр. +,x – коммутат.
–; : – некоммут.
умножение мат A× B ¹ B× A – некоммутативно.
3. aj (bj c) = (aj b) j (aj c) –дистрибутивность слева
(aj b)j c) = (aj с) j (bj c) –дистрибутивность справа.
Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа
но не abc ¹ abac
Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; j I) и B=(M; j I) – одинакового типа.
Пусть отображение Г:Kà M при условии Г(j I)= j I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции j I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение j I в В.
Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.
Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1.
Мощности изоморфных алгебр равны.
Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.
Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры.
