Обозначим через дифференциальный оператор второго порядка, т.е.
(1)
где представляют собой непрерывные функции в промежутке . Если и - дважды непрерывно дифференцируемые на функции, то имеем:
(2)
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:
(3)
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через , т.е.
(4)
При этом соотношение (3) перепишется так:
(5)
Оператор называется сопряженным по отношению к оператору . Умножая соотношение (4) на и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору . Таким образом, операторы и взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
(6)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
(7)
Если же , то оператор и дифференциальное уравнение будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что тогда и только, когда:
Таким образом, оператор будем самосопряженным тогда и только тогда, когда .
При этом:
Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию .
Дифференцируя соотношение (5) по , получаем так называемую формулу Лагранжа:
(8)
Правая часть этой формулы может быть записана как:
где
(10)
Отметим, что:
и следовательно, матрица -невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:
(11)
Введем следующее невырожденное линейное преобразование в вектор :
(12),
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе две последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку , мы можем обратить преобразование (12) и получить:
.
При этом (11) можно переписать как:
или
(13),
где (14)
Билинейная форма в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13)
и и получим:
(15)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:
(16)
(17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
(18)
При ненулевом векторе последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты и принимали любые требуемые значения, лишь бы и не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия . При этом из соотношения (11) следует, что . Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства . При этом из соотношения (11) вытекает, что . Таким образом, задача, сопряженная задаче (19)
имеет вид:
(20)
где и связаны с компонентами вектора соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда и каждая из двух компонент и является линейной комбинацией и , т.е. пропорциональна .
Один из определителей:
матриц-блоков
должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что . Далее, выберем такие и , чтобы строки матрицы А были линейно независимы.
Например, положим и .
При этом матрица А примет вид:
(21).
Из формулы (19) следует, что .
Тогда
(22)
Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):
Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:
(23)
Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы и чтобы каждая из компонент и являлась линейной комбинацией и . Как указывалось выше, тогда и только тогда, когда . При этом условия (21) и (20) принимают вид:
(24)
Разрешая равенства относительно и при и заменяя на , получаем:
(25)
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:
(26)
Краевая задача при самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство .
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:
(27)
,
тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:
Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь и с вектором , описываемую формулой (14а) т.е.:
(28)
При этом соотношение (27) принимает вид:
Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.
