Рефераты. Доклад: Функция и ее свойства

Доклад: Функция и ее свойства

Русская гимназия











????????


на тему:

???????






        ????????

  ?????? 10"?" ?????? ?????????? ??????

        ????????????

        ??????? ??????????

        ????? ?.?.









Нижний Новгород
1997 год
Функция и её свойства

  1. Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

  2. Переменная х- независимая переменная или аргумент.

  3. Переменная у- зависимая переменная
  4. Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

    1. Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

        1. Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

    2. Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
    3. Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
    4. Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2)
    5. Убывающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

    6. Способы задания функции
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)-некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.


Виды функций и их свойства

  1. Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2)        Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к№0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

  1. Cвойства функции y=kx:
  2. Область определения функции- множество всех действительных чисел
  3. y=kx - нечетная функция
  4. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

  5. 3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

  6. Свойства функции y=kx+b:
  7. Область определения- множество всех действительных чисел
  8. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

  9. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая.


  1. 4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k№0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

  2. Свойства функции y=k/x:
  3. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
  4. y=k/x- нечетная функция
  5. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+Ґ) и на промежутке (-Ґ;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-Ґ;0) и на промежутке (0;+Ґ).

Графиком функции является гипербола.

  1. 5)Функция y=x2
  2. Свойства функции y=x2:
  3. Область определения- вся числовая прямая
  4. y=x2 - четная функция
  5. На промежутке [0;+Ґ) функция возрастает

  6. На промежутке (-Ґ;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.


6)Функция y=x3
Свойства функции y=x3:

  1. Область определения- вся числовая прямая
  2. y=x3 -нечетная функция
  3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола

  1. 7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше.

  2. Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем "теснее прижимаются" к оси Х, чем больше n.

  3. Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу.

  4. 8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

    Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
    Пусть n- четное число, например n=2.
  • Свойства функции y=x-2:
  • Функция определена при всех x№0
  • y=x-2 - четная функция
  • Функция убывает на (0;+Ґ) и возрастает на (-Ґ;0).

  • Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.


  • 9)Функция y=Цх
  • Свойства функции y=Цх:
  • Область определения - луч [0;+Ґ).

  • Функция y=Цх - общего вида
  • Функция возрастает на луче [0;+Ґ).


    10)Функция y=3Цх
    Свойства функции y=3Цх:

    1. Область определения- вся числовая прямая
    2. Функция y=3Цх нечетна.

    3. Функция возрастает на всей числовой прямой.


    11)Функция y=nЦх
    1. При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Цх. При нечетном n функция y=nЦх обладает теми же свойствами, что и функция y=3Цх.



    2. 12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь.

    3. Свойства функции y=xr:
    4. Область определения- луч [0;+Ґ).

    5. Функция общего вида
    6. Функция возрастает на [0;+Ґ).

    7. рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке [0;+Ґ).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr, где r>1.

            На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=xr , где 0<r<1

    1. 13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная формулой y=x-r, где r- положительная несократимая дробь.

    2. Свойства функции y=x-r:
    3. Обл. определения -промежуток (0;+Ґ)
    4. Функция общего вида
    5. Функция убывает на (0;+Ґ)

    14)Обратная функция
    1. Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

        Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
        Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.
  • 15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.
        Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.


  • 2012 © Все права защищены
    При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.